ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ. ФОРМУЛЫ ЛАГРАНЖА.
Интерполяционный многочлен Лагранжа
Пусть функция F(x)задана табл.1 .
... | |||||||
F(x) |
Построим многочленLn(x), степень которого не выше, чем , и для которого выполнены условия интерполяции .(1). Будем искать в виде ,(2)где — многочлен степени , причем
(3).
Очевидно, что требование (3) с учетом (2) вполне обеспечивает выполнение условий (1). Многочлены составим следующим образом: (4), где — коэффициент, значение которого найдем из первой части условия (3):
(заметим, что ни один множитель в знаменателе не равен нулю). Подставим в (4) и далее с учетом (2) окончательно имеем: .(5)
Это и есть интерполяционный многочлен Лагранжа.
Организация ручных вычислений по формуле Лагранжа
В табл. 1 показано построение такой схемы для 4 узлов Таблица составляется заново для каждого нового значения аргумента .
Заполнение таблицы начинается с того, что вычисляются и заносятся в соответствующие клетки все элементарные разности. Вслед за этим вычисляются произведения разностей по строкам:
Табл.1
|
. С учетом этого обозначения формула Лагранжа имеет вид .Все необходимые значения последовательно получаются в таблице. Сумма 5 образуется сложением элементов последнего столбца. Для получения окончательного значения достаточно умножить S на произведение (произведение диагональных разностей таблицы).
|
|
Приближенное интегрирование функции. Квадратурные формулы Ньютона-Котеса.
При вычис-ии опр-го интеграла , где непр. на отрезке [a;b] ф-я, иногда удается практич. воспользоваться формулой Н-Л: (5.1) . Здесь одна из перво-зных фу-ий.
Эта формула не исчерпывает практ-их приемов вычисл-ия , так как:
1) Первооб-ую не удается явно найти в аналитической форме,
2) Первооб-ую удается найти в аналит-ой форме, но не удается довести до число-го отв-та значение опр-го .
3) иногда подынтегральная ф-ия задается табл-ей или граф-ом.
Поэтому часто примен. раз-ные методы (числ-ого)
Опр. Формулы, исполь-мые для выч-ния , наз-ют квадр-ми фор-ми.
Простой прием постр-ия квадр-ных формул состоит в том, что подынтег-ная ф-я замен-тся на отрезке [a;b] интерпол-ным мн-ом, напр. мн-ом Лагр-жа ,и принимается равенство
При этом предполагается, что отрезок [a;b] разбит на п частей точками , наличие к-х подразум-тся при постр-и мн-на . В силу (!) интер-ого полинома n-й степ. для данной ф-и и данной системы узлов не имеет значения, исп-ть ли в этой процедуре мн-ен Лаг-жа или мн-ны Нью-на.
|
|
Подставляя в (5.2) вместо его предст-ние, получим
ТО, (5.3),где (5.4)
По полученным формулам:
1. коэф-ты не зависят от вида ф-иf(x),т.к они сост-ны только с учетом узлов интер-ции;
2. еслиf(x) — полином степ. n, то тогда формула (5.3)-точная, иначе в этом случаеL(x) = f(x).
Дата добавления: 2018-08-06; просмотров: 355; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!