Приближенное решение нелинейных уравнений. Комбинированный метод.
В методах хорд и касательных приближения «подходят» к корню только с одной стороны, что затрудняет оценку их погрешностей. Однако если эти методы применять не раздельно, а в сочетании друг с другом, то от этого недостатка можно избавиться.
В каждом из случаев относительно знаков 
и 
последовательные приближения рассматриваемых методов находятся по разные стороны от корня. Если обозначить приближения метода хорд через 
приближения метода касательных через 
, то всегда выполняется 
или 
.
Тогда, как и в методе половинного деления, корень будет находиться в каждом из вложенных отрезков с концами 
, причем 
при 
. Отрезки стягиваются к корню t, поэтому процесс уточнения с точностью до 
можно остановить сразу же, как только окажется 
, и взять в качестве приближенного корня середину отрезка между 
и 
Когда вычисления ведутся без заданной степени точности и на некотором шаге 
в качестве прибл-я к корню выбрана средняя точка 
между 
и 
тогда 
.
Процесс уточнения будет более быстрым, если для вычисления 
методом хорд вместо соответствующего неподвижного конца отрезка 
использовать найденное методом касательных приближение 
т.е. когда хорды проводятся через точки графика функции с абсциссами 
и 
Именно при таком способе вычислений есть смысл говорить окомбинированном методе хорд и касательных.
Рассмотри случай при 
на 
(случай 1). 
Из сказанного понятно, что вычисление пары чисел 
надо начинать с 
, которое определяется по-прежнему формулой метода касат: 
|
|
|
при соответствующем начальном приближении 
. Затем по формуле хорд отыскивается 
: 
,
При этом благодаря комбинированию методов его вычисление упрощается, поскольку формула метода хорд становится единой, не зависящей от знаков производных.
Напомним еще разправила выбора начальных приближений:
Если 
на 
(случаи 1-2), то 
, 
, иначе, если 
(случаи 3-4), то 
, 
.
Ниже приведены схемы применения комбинированного метода для всех 4-х случаев.
Приближенное решение нелинейных уравнений. Метод итерации .Достаточное условие сходимости.
Постановка задачи. Дано нелинейное уравнение F(x)=0 (2.1),где функция y=F(x) определена и непрерывно-дифференцируема для всех 
, причем корень 
отделен на отрезке [a,b].
Необходимо уточнить данный корень с точностью 
.
Пусть F(x)=0 приведено к равносильному виду 
(2.2).
Заменить 
равносильным уравнением 
можно множеством способов. Простой — добавить х к левой и правой частям F(x)=0.
Пусть 
— корень уравнения , a 
— полученное каким- либо способом на этапе отделения корней грубое приближение к корню. Подставляя 
в правую часть (2.2), получим число 
. Проделаем то же самое с 
получим 
и т.д. Последовательно применяя рекуррентное соотношение 
для 
образуем итерационную послед-ть 
|
|
|
(слово «итерация» - повторение (лат. iteration)). Процесс построения итерационной последовательности имеет простую геометрическую интерпретацию:
Рис. Построение итерационной последовательности
На рис. изображены два случая, показывающие, что последовательность приближений может быть как сходящейся, так и расходящейся.
Достаточное условие сходимости.
Теорема. Пусть уравнение имеет единственный корень на отрезке [a,b] и выполнены условия:
1) функция 
определена и дифференцируема на отрезке [a,b],
2) причем все значения Î[a,b],
3) существует такое вещественное q, что 
для 
.
Тогда процесс итерации 
сходится независимо от начального значения 
.
Доказательство. Рассм. два последовательных приближения 
и 
. Отсюда 
. Применяя теорему Лагранжа, имеем: 
, где 
. На основании условия (3) теоремы, получим: 
. Отсюда, при n=1, 2, 3, …, последовательно выводим:
(*)
Рассмотрим ряд
(**)
Составим частичные суммы этого ряда: 
Заметим, (n+1)-я частичная сумма ряда (**) совпадает с n-м членом итерационной последовательности, т.е. 
|
|
|
Сравним ряд (**) с рядом
(***)
В силу неравенств (*) члены ряда (**) по абсолютной величине меньше соответствующих членов геометрической прогрессии (***) со знаменателем q<1, поэтому ряд (**) сходится и притом абсолютно. Следовательно, существует 
, причем, очевидно, 
. Переходя к пределу в равенстве 
, в силу непрерывности функции 
получаем: 
.
Т.о., есть корень уравнения 
. Что и требовалось доказать.
Дата добавления: 2018-08-06; просмотров: 798; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!