Абсолютные и относительные погрешности суммы, разности, произведения и частного.
a) Пусть S – сумма , D – разность.
тогда 
b) Пусть 
(иначе берем по модулю).
Тогда 
Т.к. 
тогда 
Отсюда
а также 
Метод половинного деления
Пусть уравнение 
имеет на отрезке 
единственный корень, причем функция F(x) на этом отрезке непрерывна. Разделим отрезок 
пополам точкой 
. Если 
(что практически наиболее вероятно), то возможны два случая:F(x) меняет знак либо на отрезке 
(рис. а), либо на отрезке [с; b]
(рис. б). Выбирая в каждом случае тот из отрезков, на котором функция меняет знак, и продолжая процесс половинного деления дальше, можно дойти до сколь угодно малого отрезка, содержащего корень уравнения.
а - функция 
меняет знак на отрезке 
; б - функция 
меняет знак на отрезке 
.
Оценка погрешности метода половинного деления.
Если на каком-то этапе процесса получен отрезок [a; b], содержащий корень, то, приняв приближенно 
, получим ошибку, не превышающую значения
При алгоритмизации метода половинного деления остановить процедуру уточнения корня можно и другим способом. Зная допустимое значение погрешности 
:
легко вычислить количество шагов 
получения последовательных приближений: 
Учитывая, что N — число целое, окончательно получим
где, как это принято, квадратные скобки означают целую часть числа.
Метод хорд.
Метод хорд уточнения корней уравнений относятся к методам последовательных приближений. Приближения к корню находятся так: если известно предыдущее приближение 
, то последующее приближение 
, вычисляется по формуле 
|
|
|
где Р — некоторое выражение, устанавливающее связь между предыдущим и последующим приближениями. Начинается процесс с какого-либо числа х0 из отрезка изоляции корня — начального приближения.
Итак, пусть дано уравнение: 
, корень t которого отделен на отрезке 
Известно, что при 
на 
функция возрастает на этом отрезке; при 
— убывает; при 
график функции вогнутый, а при 
-выпуклый. Возможны четыре случая:
1. 
— функция возрастает, график вогнутый;
2. 
— функция убывает, график выпуклый;
3. 
— функция возрастает, график выпуклый;
4. 
— функция убывает, график вогнутый.
1.Предположим, что производные 
и 
положительны на 
(случай 1). Тогда 
. Построим итерационную последовательность, взяв 
=а. Соединим точки 
и 
отрезком (хордой).
Абсциссу точки пересечения хорды 
с осью Ох возьмем в качестве 
. Уравнение хорды:
.
Положив в этом уравнении 
, получим 
. Следовательно,
.
Далее напишем уравнение хорды, при 
получим 
(абсциссу точки пересечения хорды 
с осью 
):
Продолжая подобным образом, получим итерационную последовательность, вычисляемую по рекуррентной формуле, где в качестве 
выбран левый конец а отрезка 
, а правый конец b этого отрезка остается неподвижным:
|
|
|
Как видно из схем для случаев1) и 2) 
, неподвижной точкой будет 
, а для случаев 3) и 4) наоборот, 
, неподвижной точкой будет 
.
Правило выбора начального приближения:
Если 
на 
(случаи 1-2), то 
, иначе если 
(случаи 3-4), то 
, а левый конец а этого отрезка остается неподвижным. Для случаев 3)-4) приближения вычисляют по формуле:
Дата добавления: 2018-08-06; просмотров: 541; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!