Иррациональные неравенства. Основные методы решения иррациональных неравенств
Нер-во – наз иррац если некоторые входящие в него вункции находятся под знаком корня.
Основным методом решения иррационального неравенства является сведение его к системе рациональных неравенств или совокупности таких систем. При этом чаще всего используются следующие равносильности (в нижеследующих формула звездочка у неравенства означает, что данное неравенство заменяется на нестрогое, если исходное неравенство является нестрогим):
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
.
Замечание. При решении иррациональных неравенств, как правило, приходится возводить обе части неравенства в натуральную степень. В этом случае необходимо следить за тем, чтобы преобразования были равносильными, лишь тогда можно избежать потери или приобретения лишних решений.
Неравенства с тремя квадратными радикалами равносильными преобразованиями сводятся к одному из типов неравенств с единственным радикалом. Например, одна из схем решения неравенства
такова. Сначала находим область определения 
неравенства из системы 
Затем для всех 
переносом члена с «минусом» в другую часть неравенства обеспечивается неотрицательность обеих частей, которые затем возводятся в квадрат. В результате получается неравенство с одним радикалом:
,
которое решается по известной (приведенной выше схеме).
Показательные уравнения. Основные методы решения показательных уравнений
|
|
|
Показательным уравнением называется уравнение, которое содержит неизвестную величину в показателе степени при постоянном основании a (a> 0).
Типы показательных уравнений и способы их решения
Всюду далее f(x), g(x) – некоторые выражения с неизвестной величиной x.
I тип: уравнение вида 
где 
(1) имеет решение, если b > 0. Его решают логарифмированием по основанию a: 
Тогда 
(2)
Решение уравнения (2) производят соответственно типу этого уравнения.
II тип: уравнение вида 
где 
(3) по свойству равенства степеней равносильно уравнению 
Последнее уравнение решают в зависимости от его типа.
III тип: уравнение вида 
(4) где F – некоторое выражение относительно 
Производят замену переменной 
и решают уравнение F(y) = 0. Если 
– корни уравнения, то после возвращения к старой переменной решение уравнения (4) сводится к решению равносильной ему совокупности уравнений 
IV тип: уравнения, решаемые графическим методом.
Для таких уравнений строят соответствующие графики для левой и правой частей уравнения. Определяют, для каких значений x графики имеют общую ординату. Используют также иные функциональные свойства, в частности, монотонность функции (возрастание, убывание).
|
|
|
Показательно-степенным уравнением называется уравнение, в котором неизвестная величина содержится и в основании степени, и в показателе. Такие уравнения принято решать при условии, что основания степени положительны (ОДЗ уравнения).
Дата добавления: 2018-05-13; просмотров: 483; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!