Обобщающий метод интервалов для решения неравенств
Обобщённый метод интервалов
Данный способ наиболее универсален при решении неравенств практически любого типа. Схема решения выглядит следующим образом:
1. Привести неравенство к такому виду, где в левой части находится функция , а в правой 0.
2. Найти область определения функции
3. Найти нули функции , то есть – решить уравнение (а решать уравнение обычно проще, чем решать неравенство)
4. Изобразить на числовой прямой область определения и нули функции.
5. Определить знаки функции на полученных интервалах.
6. Выбрать интервалы, где функция принимает необходимые значения и записать ответ.
(В основе этого метода лежит следующее свойство двучлена (х – а): точка а делит числовую ось на две части — справа от точки а двучлен (х – а) положителен, а слева от точки а — отрицателен.
Пусть требуется решить неравенство
(х – а1)(х - a2) ...(x - an) >0, (1)
где а1, a2, …, an-1, an — фиксированные числа, среди которых нет равных, причем такие, что а1<а2<...<аn-1<аn
Рассмотрим многочлен
P(x) = (x-a1)(x-a2)...(x-an) (2)
Для любого числа х0 такого, что х0 > аn, соответствующее числовое значение любого сомножителя в произведении (2) положительно, а значит, Р(х0) > 0. Для любого числа x1, взятого из интервала (аn-1, an) соответствующее числовое значение любого из множителей, кроме множителя (x - an), положительное, поэтому число Р(х1) < 0 и т. д.
На этом рассуждении и основан метод интервалов, состоящий в следующем: на числовую ось наносят числа a1, а2, ..., аn; в промежутке справа от наибольшего из них, то есть числа an, ставят знак плюс, в следующем за ним справа налево интервале ставят знак минус, затем — знак плюс, затем — знак минус и т. д. Тогда множеством всех решений неравенства (1) будет объединение всех промежутков, в которых стоит знак плюс, а множеством решений неравенства
|
|
|
(х – а1)(х - a2) ...(x - an)<0, (3)
где а1 < а2 < ... < аn, будет объединение всех промежутков, в которых стоит знак минус.)
Основные соотношения между элементами треугольника
Треугольникомназывается многоугольник с тремя углами (и с тремя сторонами).
Стороны и углы треугольника считаются основными элементами треугольника.
Треугольник полностью определяется любой из следующих троек своих основных элементов: либо тремя сторонами, либо одной стороной и двумя углами, либо двумя сторонами и углом между ними.
Для существования треугольника, задаваемого тремя сторонами a,b,c, необходимо и достаточно выполнение неравенств, называемых неравенствами треугольника:
a+b>c, a+c>b, b+c>a
Для существования треугольника, задаваемого стороной a и углами α,β, необходимо и достаточно выполнение неравенства α+β<180∘, а для существования треугольника, задаваемого сторонами b,c и углом γ между ними, необходимо и достаточно выполнение неравенства γ<180∘
|
|
|
В качестве тройки элементов, однозначно определяющих треугольник, можно выбирать и другие наборы элементов.
Не любая тройка основных элементов треугольника однозначно задает треугольник. Так, например, задавая три угла треугольника α,β,γ (они не являются независимыми и связаны между собой равенством α+β+γ=180∘), можно построить сколь угодно много не равных треугольников с углами α,β,γ (эти треугольники подобны).
Соотношения между сторонами и углами треугольника:
1) Против большей стороны лежит больший угол.
2) Против большего угла лежит большая сторона.
3) Против равных сторон лежат равные углы, и, обратно, против равных углов лежат равные стороны.
Соотношение между внутренними и внешними углами треугольника:
Сумма двух любых внутренних углов треугольника равна внешнему углу треугольника, смежного с третьим углом.
Стороны и углы треугольника связаны между собой также соотношениями, называемыми теоремой синусов и теоремой косинусов.
|
|
|
Теорема косинусов
Квадрат любой стороны треугольника (a) равен сумме квадратов двух других сторон треугольника (b и c), минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла (α) между ними.
Доказательство:
Рассмотрим треугольник ABC. Из вершины C на сторону AB опущена высота CD. Из треугольника ADC следует: 
, 
Запишем теорему Пифагора для двух прямоугольных треугольников ADC и BDC:
Приравниваем правые части уравнений (1) и (2) и: 
или
Случай, когда один из углов при основании тупой (и высота падает на продолжение основания), полностью аналогичен рассмотренному. ч.т.д
Теорема синусов:
Для произвольного треугольника 
где a, b, c — стороны треугольника, α, β, γ — соответственно противолежащие им углы, а R — радиус описанной около треугольника окружности.
Доказательство: 
Достаточно доказать следущие положения: 
Проведем диаметр | BG | для описанной окружности. По свойству углов, вписанных в окружность, угол 
прямой и угол при вершине G треугольника 
равен либо α, если точки A и G лежат по одну сторону от прямой BC, либо π - α в противном случае. Поскольку sin(π - α) = sinα, в обоих случаях a = 2Rsinα. Повторив тоже рассуждение для двух других сторон треугольника получаем: ч.т.д Площадь треугольника S может быть вычислена по формулам: S=1/2ah=√p(p−a)(p−b)(p−c)= absinγ/2=abc/4R=pr
|
|
|
Дата добавления: 2018-05-13; просмотров: 563; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!