Свойства секущих и касательных к окружности.
Окружностью называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки, называемой центром окружности. Отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности, называется радиусом окружности.
Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется ее хордой.
Хорда, проходящая через центр окружности, называется ее диаметром. Диаметр равен двум радиусам, а радиус равен половине диаметра.
Если на окружности взять две точки, то они разобьют окружность на две части, каждая из которых называется дугой окружности, а данные точки — концами этих дуг.
Дуга называется полуокружностью, если отрезок, соединяющий ее концы, является диаметром окружности. Часть плоскости, ограниченная окружностью, называется кругом.
Кругом с центром О и радиусомR называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, удаленных от точки О не больше, чем на расстояниеR.
Опр. Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.
Опр. Всякая прямая, имеющая с окружностью две общие тонки, называется секущей этой окружности.
Т5. (свойство касательной). Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.
Т6. (признак касательной). Прямая, проходящая через точку окружности и перпендикулярная ее радиусу, проведенному в эту точку, касается окружности.
|
|
|
Пусть из точки А проведены две касательные р и т к окружности с центром в точке О, которые касаются окружности в точках Р и М соответственно (см. рис.).
Т7. Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности. Док-во: Истинность этого факта следует из равенства треугольников ОРА и ОМА (см. рис.) по катету (ОР = ОМ как радиусы) и гипотенузе
(OA — общая). Таким образом, АР = AM и 
PAO = MAO .n
Теорема:
Если из внешней точки провести к окружности касательную и секущую то квадрат касательной = произведению всей секущей на ее внешнюю часть. MC2 = MA•MB.
Измерение углов, связанных с окружностью
Окружностью называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки, называемой центром окружности. Отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности, называется радиусом окружности.
Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется ее хордой.
Хорда, проходящая через центр окружности, называется ее диаметром. Диаметр равен двум радиусам, а радиус равен половине диаметра.
|
|
|
Если на окружности взять две точки, то они разобьют окружность на две части, каждая из которых называется дугой окружности, а данные точки — концами этих дуг.
Дуга называется полуокружностью, если отрезок, соединяющий ее концы, является диаметром окружности. Часть плоскости, ограниченная окружностью, называется кругом.
Кругом с центром О и радиусомR называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, удаленных от точки О не больше, чем на расстояниеR.
Опр..Угол, вершина которого лежитв центре окружности, называется центральным углом.
Опр. Градусной мерой дуги окружности называется градусная мера центрального угла, который соответствует этой дуге. Две дуги одной окружности наз. равными, если их градусные меры равны.
Т4. Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.
Следствие. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
Следствие. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность (т.е. на диаметр), прямой.
Опр. Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.
Опр. Всякая прямая, имеющая с окружностью две общие тонки, называется секущей этой окружности.
|
|
|
Т9. Дуги, заключенные между касательной к окружности и параллельной ей хордой и этой окружности, равны. Доказательство. ОМ ┴т , т.к. т — касательная к окр. О в точке М. Значит, ОМ ┴АВ, так как т || АВ.
Тогда в равнобедренном треугольнике АОВ ON— биссектриса, где N = ОМ ∩АВ, т. е. AOM = MOB и 
AM = МВ.
Эту теорему можно сформулировать еще и так: если касательная параллельна хорде, то точка касания делит дугу, стягиваемую хордой, пополам.n
Т10. Угол между двумя пересекающимися хордами измеряется полусуммой дуг этой окружности, одна из которых заключена между его сторонами, а другая — между их продолжениями.
Т11. Угол, вершина которого лежит вне круга и стороны пересекают окружность, измеряется полуразностью дуг, отсекаемых сторонами угла и заключенных внутри него.
Т12. Угол, образованный касательной к окружности и хордой, равен половине дуги которая стягивает хорда
Т13.Угол, образованный касательной и секущей равен полуразности дуг заключенных между ними
Дата добавления: 2018-05-13; просмотров: 1871; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!