Теорема о равновесии плоской системы трех

Непараллельных сил

Теорема.Для равновесия плоской системы трех непараллельных сил необходимо, но недостаточно, чтобы линии действия этих сил пересекались в одной точке.

Пусть даны силы Р, Q и F, причем линии действия сил Р и Q пересекаются в точке А (рис. 1.5). На основании следствия го аксиом Ш и IV перенесем силы Р и Q вдоль линий их действия в точку А и на основании аксиомы параллелограмма найдем равнодействующую Fэтих сил. В результате получаем систему двух сил (F, F), эквивалентную данным трем силам:

Но, согласно аксиоме Ш, равновесие возможно, если силы FиF лежат на одной прямой, следовательно, линия действия силы F также пройдет через точку А.

Данная теорема дает лишь необходимое условие равновесия, но недостаточное, так как три силы могут сходиться в одной точке, но не быть в равновесии (силы, линии действия которых пересекаются в одной точке, называют сходящимися).

Разложение силы на две составляющие

Разложить силу на составляющие — это значит найти систему сил, эквивалентную данной силе. В общем случае задача разложения силы на две составляющие есть задача неопределенная, имеющая бесчисленное множество решений. Для того чтобы задача имела определенное решение, необходимо задать два условия, например направления или модули двух составляющих и т. п. Возможны четыре варианта разложения силы F на две составляющие Р и Q, приложенные в той же точке. Во всех

случаях решение сводится к построению параллелограмма сил.

1. Даны направления двух составляющих Р и Q.

Решение показано на рис. 1.6.

2. Даны модуль и направление одной составляющей Q.

Решение показано на рис. 1.7

3. Даны модули двух составляющих Р и Q.

Задача решается методом засечек (рис. 1.8).

Задача имеет два решения, если Р + Q> F и P-Q< F.

Задача не имеет решений, если Р + Q> F и P-Q> F. Задача имеет одно решение, если Р + Q> F и P-Q= F.

4. Даны направление составляющей Q и модуль второй составляющей Р.

Задача решается методом засечек (рис. 1.9).

Задача имеет одно решение, если а =АВ (в этом случае угол между векторами Р и Q равен 90°).

Задача имеет два решения, если а < АВ.

Задача не имеет решений, если а > АВ.

Из рис. 1.9 видно, что модуль составляющей зависит от направления второй составляющей.

Пример 1.1. Сипа давления пружки по направлению, перпендикулярному передней грани резца, равна R.Угол резания резца (угол между передней гранью и направлением движения обрабатываемой детали) равен . Определить силу N сопротивления резанию, направленную по линии АВ,и перпендикулярную ей силу S,прижимающую резец к обрабатываемой поверхности (рис 1.10). Трением пренебречь.

Решение. Разложим заданную силу R на две составляющие N и S по заданным направлениям. Из прямоугольного треугольника получим

Связи и реакции связей.

Принцип освобождаемое

Связями называют ограничения, налагаемые на положения и скорости точек тела в пространстве. Сила, с которой тело действует на связь, называется силой давления; сила, с которой связь действует на тело, называется силой реакции или просто реакцией. Согласно аксиоме взаимодействия, эти силы по модулю равны и действуют по одной прямой в противоположные стороны. Силы реакций и дав-

лений приложены к различным телам и поэтому не представляют собой систему сил.

Силы, действующие на тело, делятся на активные и реактивные. Активные силы стремятся перемещать тело, к которому они приложены, а реактивные препятствуют этому перемещению. Принципиальное отличие активных сил от реактивных заключается в том, что значение реактивных сил, вообще говоря, зависит от значения активных сил, но не наоборот. Активные силы часто называют нагрузками.

При решении большинства задач статики несвободное тело условно изображают как свободное с помощью так называемого принципа осво-бождаемости, который формулируется так: всякое несвободное тело можно рассматривать как свободное, если отбросить связи, заменив их реакциями.

В результате применения этого принципа получаем тело, свободное от связей и находящееся под действием некоторой системы активных и реактивных сил.

Направление реакций определяется тем, в каком направлении данная связь препятствует перемещению тела. Правило для определения направления реакций можно сформулировать так: направление реакции связи противоположно направлению перемещения, не допускаемого данной связью.

Если связи считать идеально гладкими, то во многих случаях можно сразу указать направление их реакций. Рассмотрим направление реакций основных видов связей, встречающихся в различных конструкциях.

1. Идеально гладкая плоскость (рис. 1.11). В этом случае реакция R направлена перпендикулярно опорной плоскости в сторону тела, так как такая связь не дает телу перемещаться только в сторону опорной плоскости и перпендикулярно ей.

Если тело находится на наклонной плоскости, то, разложив силу тяжести Gна две составляющие G₁ и G₂, параллельную и перпендикулярную опорной плоскости, можно видеть, что составляющая G₁ будет перемещать тело вдоль плоскости, а составляющая G₂ будет прижимать тело к плоскости и уравновешиваться реакцией R.

2. Идеально гладкая поверхность (рис. 1.12). В этом случае реакция R направлена перпендикулярно касательной плоскости t—t, т. е. по нормали к опорной поверхности в сторону тела, так как нормаль есть единственное направление перемещения тела, которое не допускает данная связь.

3. Закрепленная точка или ребро угла (рис. 1.13, ребро В).В этом случае реакция R_B направлена по нормали к поверхности идеально гладкого тела в сторону тела, так как нормаль к поверхности тела есть единственное направление перемещения, которое не допускают эти связи.

4. Гибкая связь (рис. 1.13). Реакция R гибкой связи не дает телу лишь удаляться от точки подвеса и поэтому направлена вдоль связи от тела к точке подвеса. Из рис. 1.13 видно, что гибкая связь, перекинутая через блок, изменяет направление передаваемого усилия (натяжения нити).

В конструкциях широкое распространение имеют связи, которые называют шарнирами. Шарнир представляет собой подвижное соединение двух тел, допускающее только вращение вокруг общей оси (цилиндрический шарнир) или общей точки (шаровой шарнир).

5. Идеально гладкий цилиндрический шарнир
(рис. 1.13, шарнир А;рис. 1.14, подшипник D). В этом случае заранее из
вестно только, что реакция R_A проходит через ось шарнира и перпенди
кулярна этой оси, так как шарнирное соединение допускает вращение
вокруг оси, но не допускает любое перемещение тела, перпендикулярное
этой оси.

6. Идеально гладкий шаровой шарнир. В этом случае
заранее известно только, что реакция проходит через центр шарнира, так
как тело, закрепленное в шаровом шарнире, может поворачиваться в любом направлении, но не может совершать никаких линейных перемеще
ний в пространстве.

7. Идеально гладкий подпятник (рис. 1.14, подпятник A). Подпятник можно рассматривать как сочетание цилиндрического шарнира и опорной плоскости. Поэтому будем считать реакцию подпятника состоящей из двух составляющих: Х_A и Y_A.Полная реакция R_А подпятника равна векторной сумме этих составляющих:

8. Стержень, закрепленный двумя концами в идеально гладких шарнирах и нагруженный только по концам (рис. 1.14, стержень ВС).В этом случае реакция стержня, согласно аксиоме III, может быть направлена только по линии ВС,т. е. по прямой, соединяющей оси шарниров.

В дальнейшем мы нередко будем встречаться с элементами различных конструкций, называемых брусьями. Брусом принято считать твердое тело, у которого длина значительно больше поперечных размеров; множество (геометрическое место) центров тяжести всех поперечных сечений называется осью бруса. Брус с прямолинейной осью, положенный на опоры и изгибаемый приложенными к нему нагрузками, называют балкой.

Пример 1.2. Определить направление реакций опор балки АВ,шарнирно закрепленной на неподвижной опоре А и опоре В,положенной на катки; указать направление силы давления балки на опору А (рис. 1.15). Силой тяжести балки пренебречь.

Решение. Применив принцип освобожцаемости, отбросим связи балки, т.е. опоры А и В, и заменим их реакциями R_A и R_B. Реакция R_B подвижного шарнира перпендикулярна опорной плоскости, так как это единственное направление перемещения, не допускаемое данной связью. Реакция R_A неподвижного шарнира проходит через ось, и согласно теореме о равновесии трех непараллельных сил, пиния действия этой реакции должна проходить через точку М.Реакция R_A будет направлена по линии AM вправо и вверх, так как если опору А мысленно отбросить, то без реакции конец А балки будет под действием силы F перемещаться влево и вниз.

Согласно третьему закону Ньютона, сила давления R'_A балки на опору также будет направлена по линии AM,но в противоположную сторону. Определим угол :

отсюда

Распределенные нагрузки

До сих пор мы имели дело с силами, которые условно считали приложенными в точке (в действительности они приложены к площадке, размерами которой пренебрегают); такие силы называют сосредоточенными. В практике часто встречаются силы, приложенные по объему или поверхности тела, например сила тяжести, давление ветра или воды и т. п. Такие силы называют распределенными.

Плоская система распределенных сил характеризуется ее интенсивностью, обычно обозначаемой q.Интенсивность есть сила, приходящаяся на единицу длины нагруженного участка. Интенсивность в СИ выражается в Н/м.

Распределенная нагрузка, имеющая постоянную интенсивность, называется равномерно распределенной (рис. 1.16).

При решении задач статики распределенную нагрузку заменяют ее равнодействующей. Модуль равнодействующей равномерно распределенной нагрузки равен

Прикладывается равнодействующая Q в середине отрезка АВ.

Распределенная нагрузка, имеющая переменную интенсивность, называется неравномерно распределенной. Примером такой нагрузки может служить меняющееся по высоте давление воды на плотину.

Нагрузки, распределенные по поверхности, характеризуются давлен и е м, т. е. силой, приходящейся на единицу площади. В СИ давление выражается в паскалях Па или Н/м².

Принцип отвердевания

Принцип отвердевания формулируется так: механическое состояние нетвердого тела не нарушится, если оно станет абсолютно твердым.

Приведем примеры, поясняющие данную аксиому. Если жидкость в сосуде находится в равновесии, то оно не нарушится от того, что жидкость замерзнет. Если гибкая нить находится в равновесии под действием двух растягивающих сил, то равновесие не нарушится, если нить станет абсолютно твердой.

Обратная формулировка принципа в общем случае несправедлива. Если твердое тело находится в равновесии, то, превратившись в нетвердое, оно может и не быть в равновесии. Это означает, что условия равновесия твердого тела являются необходимыми, но не достаточными для равновесия нетвердого тела и требуются дополнительные условия, учитывающие те или иные физические свойства тел. Так, например, при растяжении гибкой невесомой нити необходимо обеспечить условия равновесия двух сил, но нужно помнить, что нить может сопротивляться растяжению, но не может сопротивляться сжатию (дополнительное условие равновесия гибкой нити).

Во II части «Сопротивление материалов» мы будем рассматривать равновесие нетвердых, но уже деформированных тел. На основании принципа отвердевания будем принимать эти тела за абсолютно твердые и применять к ним любые законы статики твердого тела.

Глава 2

Дата добавления: 2018-04-15; просмотров: 937; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 123 4 5 6 7 8 9 10 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!