Вычисление скалярного произведения через координаты (вывод)
Пусть заданы два вектора и
Найдем скалярное произведение векторов, перемножая их как многочлены (что законно в силу свойств линейности скалярного произведения) и пользуясь таблицей скалярного произведения векторов , , :
Итак, скалярное произведение векторов равно сумме произведений их одноименных координат
Условие перпендикулярности двух векторов в векторной и координатной формах.
- Векторы являются перпендикулярными тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.
- Даны два вектора и . Эти векторы будут перпендикулярны, если выражение на плоскости, а в трехмерном пространстве .
2. Дифференциал: определение, геометрическая интерпретация, применение к приближенным вычислениям.
Дифференциалом функции называется линейная часть приращения функции относительно приращения аргумента Δ f = A·Δx + o(Δx), то есть df = A·Δx.
Геометрический смысл дифференциала
Возьмем на графике некоторую точку и другую точку , абсцисса которой . Проведем касательную к графику функции в точке . По определению известно, что . А из треугольника KMN известно, что . Итак
Геометрический смысл: значение дифференциала функции при данном значении аргумента и данном приращении равно приращению ординаты касательной, проведенной в точке с абсциссой графика этой функции, при переходе от точки касания (с абсциссой ) к точке касательной (с абсциссой )
|
|
Замечание. Из определения дифференциала следует, что производная функции равна отношению дифференциала функции к дифференциалу ее аргумента .
Применение дифференциала в приближенных вычислениях
Абсолютной погрешностью приближенной величины называется абсолютная величина разности между точным значением этой величины и её приближенным значением : . Границей абсолютной погрешности приближенной величины называется любое положительное число , не меньше : .
Отсюда . Чем меньше , тем точнее найдена величина.
Относительная погрешность – это отношение абсолютной погрешности к модулю приближенного значения измеряемой величины: .
Границей относительной погрешности называется отношение . При этом и - часто выражают в процентах. Пусть нам известно значение функции и её производной в точке . Найдем значение функции .
Для этого воспользуемся приближенным равенством или .
Но , поэтому , откуда .
Показано, что абсолютная погрешность не превышает , где - наибольшее значение на сегменте .
Для приближенного вычисления значения функции применяется следующая формула:
|
|
Билет 7
1. Векторное произведение двух векторов и его физический смысл.
Векторным произведением двух векторов и , заданных в прямоугольной системе координат трехмерного пространства, называется такой вектор , что
Дата добавления: 2018-04-05; просмотров: 412; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!