Декартовая прямоугольная система координат
Декартовой прямоугольной системой координат на плоскости (в пространстве) называют две (три) взаимно перпендикулярные оси с общим началом. Первая ось OX называется осью абсцисс, вторая ось OY - осью ординат (третья ось OZ - осью аппликат).
Каждой точке плоскости (пространства) ставится в соответствие упорядоченная пара (тройка) действительных чисел - координат данной точки.
Левая и правая системы координат.
Три некомпланарных вектора 
, 
, 
, взятых в указанном порядке называют тройкой векторов. Пусть векторы , и отложены из одной точки. Будем смотреть с конца вектора на плоскость, в которой лежат векторы и . Если кратчайший поворот от к совершается против часовой стрелки, то тройка векторов , , называется правой тройкой(рис.9.2). Если же указанный поворот совершается по часовой стрелке, то тройка векторов , , называется левой(рис.9.3).
Декартовая прямоугольная система координат Охуz называется правой,если тройка её базисных векторов 
является правой, и левой,если тройка ─ левая.
В основном используют правые прямоугольные системы координа
Координаты вектора – коэффициенты его разложения в ортогональном базисе.
Любой вектор 
может быть представлен в виде линейной комбинации тройки взаимно перпендикулярных (ортогональных) векторов 
:
Формула 
выражает разложение вектора 
по ортогональному базису , а его координаты 
являются коэффициентами разложения вектора в ортогональном базисе.
|
|
|
Коэффициенты разложения – проекции на оси координат.
Из рисунка видно, что коэффициенты разложения-координаты вектора ( ) являются проекциям вектора на оси координат
Радиус – вектор точки.
- это вектор, начало которого совпадает с началом системы координат, а конец - с данной точкой.
Таким образом, особенностью радиус-вектора, отличающего его от всех других векторов, является то, что его начало всегда находится в точке начала координат
Длина вектора «в координатах».
формула для нахождения длины вектора 
по его координатам на плоскости имеет вид 
, длина вектора 
в пространстве равна корню квадратному из суммы квадратов его координат, то есть, находится по формуле 
.
Направление вектора.
Направлением вектора считается направление от его начала к его концу
Направляющие» косинусы и зависимость между ними.
Направляющими косинусами вектора называются косинусы углов, образованных вектором с положительными направлениями осей координат.
Направление вектора однозначно задается направляющими косинусами. Для единичного вектора направляющие косинусы равны его координатам.
Если в пространстве задан вектор 
, то его направляющие косинусы вычисляются по формулам: 
, 
, 
|
|
|
Здесь 
и 
- углы, которые составляет вектор с положительными направлениями осей Ox, Oy и Oz соответственно.
Сумма квадратов направляющих косинусов равна единице: 
2. Формула Лангража конечных приращений.
Формула конечных приращений или теорема Лагра́нжа о среднем значении утверждает, что если функция 
непрерывна на отрезке 
и дифференцируема в интервале 
, то найдётся такая точка 
, что 
.
Правило Лопиталя (вывод).
Теорема Лопиталя:
Если:
-
; -
и 
дифференцируемы в окрестности 
; -
в окрестности ; - существует
,
то существует 
.
Пределы также могут быть односторонними.
Или
Теорема 5.5 (Правило Лопиталя) Пусть функции 
и 
непрерывны в некоторой окрестности 
точки 
и 
, то есть 
и 
при 
. Предположим, что при 
функции и имеют производные 
и 
, причём существует предел отношения этих производных: 
. Тогда предел отношения самих функций и тоже существует и равен тому же числу L: 
Доказательство. Заметим, что из условия 
следует, что оба односторонних предела также равны L: 
и 
Пусть 
, 
. По теореме Коши, применённой к отрезку 
, получим тогда, с учётом того, что 
, 
, 
, где 
.
|
|
|
Перейдём теперь в этом равенстве к пределу при 
: 
,
так как, очевидно, при имеем также 
. Теперь возьмём точку 
, 
и применим теорему Коши к отрезку 
. Получим : 
, где 
.
Переходя к пределу при 
, получаем 
,
так как при имеем 
.
Итак, оба односторонних предела отношения 
равны L. На основании теоремы о связи односторонних пределов с двусторонним получаем, что 
Примеры его применения.
Задание. Найти 
Решение. Получим неопределенность и для решения предела воспользуемся правилом Лопиталя.
Ответ. 
Задание. Найти 
Решение. Получим неопределенность не подходящую под правило Лопиталя, приведем ее к нужному виду и для решения предела воспользуемся правилом Лопиталя.
Ответ. 
Билет 6
1. Скалярное произведение векторов.
Скалярным произведением двух векторов и называется ЧИСЛО, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними: 
Его физический смысл.
Пусть материальная точка перемещается под действием постоянной силы 
вдоль вектора перемещения 
.
|
|
|
На рисунке 1 сила 
разложена на две ортогональные составляющие 
и 
, причем, из физики нам известно, что работа при перемещении материальной точки вдоль вектора создается составляющей и равна 
.
С другой стороны, 
, откуда получаем: 
Свойства скалярного произведения.
Для любых векторов , , и любого действительного числа 
:
1) a · b = b · a -свойство перестановки (коммутативности): (от перестановки множителей скалярное произведение не меняется);
2) a · (b · c) = (a · b) · c -свойство распределения: (результат не зависит от порядка умножения);
3) a(b+c)=ab+ac - свойство дистрибутивности
4) (λ a) · b = λ (a · b) - свойство сочетания (по отношению к скалярному множителю):
5) Свойство ортогональности (перпендикулярности): если вектора a и b ненулевые, то их скалярное произведение равно нулю, только когда эти векторы ортогональны (перпендикулярны друг к другу) 
6) a · a = a2 = |a|2 - свойство квадрата (скалярное произведения вектора самого с собой равняется квадрату его модуля);
7) 
;
Доказать равенство a(b+c)=ab+ac.
Для доказательства координаты векторов: 
, 
, 
подставляются в формулу произведения 
. После подстановки координат получается выражение 
, которое и соответствует сумме скалярных произведений 
.
Дата добавления: 2018-04-05; просмотров: 844; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!