Формула нахождения производной сложной функции
Производная сложной функции
Пусть функция f: [a, b] → [c, d], а функция g:[a1, b1] → [c1, d1], причём [a1, b1] 
[c, d]. Если функция f дифференцируема в точке х0 
[a, b], а функция g дифференцируема в точке y0 = f (x0) 
[a1,b1], то сложная функция F(x) = g( f ( x )) имеет в точке х0 производную, равную
g ' ( f ( x0 ) )·f ' ( x0 ).
Доказательство. Так как функция g(y) дифференцируема в точке у0, то имеем
Δ g (y) = g ' (y0)·Δy + δ(Δy)·Δy,
где δ(Δ х) → 0 при Δ х → 0. Так как функция f (x)дифференцируема в точке х0, то имеем
Δ y = f ' ( x0 )·Δx + ε (Δx)·Δx,
где ε(Δх) → 0 при Δ х → 0. Поставляя второе соотношение в первое, получим
Разделив обе части последнего соотношения на Δх, получим
.
Переходя к пределу при Δх → 0 в левой и правой части последнего равенства с учётом непрерывности рассматриваемых функций, получим g ' ( f ( x ) )|x0 = g ' (y0)·f ' (x0).
Что и требовалось доказать.
Производная обратной функции
Рассмотрим функцию f(x), которая является строго монотонной на некотором интервале (a, b). Если в этом интервале существует точка x0, такая, что f '(x0) ≠ 0, то функция x = φ(y), обратная к функции y = f(x), также дифференцируема в точке y0 = f(x0) и ее производная равна: 
.
Докажем приведенную теорему о производной обратной функции.
Пусть переменная y получает в точке y0 приращение Δy ≠ 0. Соответствующее ему приращение переменной x в точке x0 обозначим как Δx, причем Δx ≠ 0 в силу строгой монотонности функции y = f(x). Запишем отношение приращений в виде: 
.
|
|
|
Допустим, что Δy → 0. Тогда Δx → 0, поскольку обратная функция x = φ(y) является непрерывной в точке y0. В пределе, при Δx → 0, правая часть записанного соотношения становится равной
.
В таком случае левая часть также стремится к пределу, который по определению равен производной обратной функции: 
.
Таким образом, 
, то есть производная обратной функции равна обратной величине производной исходной функции.
Формула нахождения производной сложной функции.
Билет 9
Вывод общего уравнения прямой на плоскости.
Теорема.
Всякое уравнение первой степени вида 
, где А, В и С – некоторые действительные числа, причем А и В одновременно не равны нулю, задает прямую линию в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости, и любая прямая в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости задается уравнением вида при некотором наборе значений A, B и C.
Доказательство.
Как видите, теорема состоит из двух частей. Докажем сначала, что уравнение вида задает прямую на плоскости.
Пусть координаты точки 
удовлетворяют уравнению , то есть, 
. Вычтем из левой и правой частей уравнения соответственно левую и правую части равенства , при этом получаем уравнение вида 
, которое эквивалентно .
|
|
|
Уравнение представляет собой необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов 
и 
. То есть, множество всех точек 
определяет в прямоугольной системе координат Oxy прямую линию, перпендикулярную направлению вектора . Если бы это было не так, то векторы и 
не были бы перпендикулярными и равенство 
не выполнялось бы.
Таким образом, уравнение задает прямую линию в прямоугольной декартовой системе координат Oxy на плоскости, следовательно, эквивалентное ему уравнение вида задает эту же прямую. На этом первая часть теоремы доказана.
Теперь докажем, что всякая прямая в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости определяется уравнением первой степени вида .
Пусть в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости задана прямая a, проходящая через точку , - нормальный вектор прямой a, и пусть - плавающая точка этой прямой. Тогда векторы и 
перпендикулярны, следовательно, их скалярное произведение равно нулю, то есть, 
. Полученное равенство можно переписать в виде 
. Если принять 
, то получим уравнение , которое соответствует прямой a.
На этом доказательство теоремы завершено.
|
|
|
Уравнение вида есть общее уравнение прямой на плоскости в прямоугольной системе координат Oxy.
Дата добавления: 2018-04-05; просмотров: 405; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!