Алгебраическое дополнение к выделенному элементу матрицы

ОТВЕТЫ

Билет 1

1. Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными.

Системой двух линейных уравнений с двумя неизвестными называется совокупность уравнений вида:

,где х и у — неизвестные величины, а и — некоторые заданные числа.

Совместные и несовместные системы.

Система уравнений, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной, а не имеющая ни одного решения — несовместной.

Матрицы коэффициентов системы.

Cистему из уравнений с неизвестными

можно представить в матричном виде

и тогда всю систему можно записать так:

, где имеет смысл таблицы коэффициентов cистемы уравнений.

Определители 2-го порядка.

Определителем второго порядка называется число равное разности произведений элементов главной и второй диагонали:

Примеры определителей второго порядка:

Вывод формулы Крамера решения системы второго порядка.

Рассмотрим систему 2-х уравнений с двумя неизвестными

Используя определители 2-го порядка, решение такой системы можно записать по правилу Крамера в следующем виде: если D¹0. Здесь .

Вывод формул.

Пусть нам требуется решить систему линейных уравнений вида

где x₁, x₂ – неизвестные переменные, a_{i j}, i = 1, 2, j = 1, 2 – числовые коэффициенты, b₁, b₂ - свободные члены. Решением СЛАУ называется такой набор значений x₁, x₂ при которых оба уравнения системы обращаются в тождества.

В матричном виде эта система может быть записана как A ⋅ X = B, где - основная матрица системы, ее элементами являются коэффициенты при неизвестных переменных, - матрица – столбец свободных членов, а - матрица – столбец неизвестных переменных. После нахождения неизвестных переменных x₁, x₂ матрица становится решением системы уравнений и равенство A ⋅ X = B обращается в тождество .

Будем считать, что матрица А – невырожденная, то есть, ее определитель отличен от нуля. В этом случае система линейных алгебраических уравнений имеет единственное решение, которое может быть найдено методом Крамера.

Метод Крамера основывается на двух свойствах определителя матрицы:

Определитель квадратной матрицы , равен сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения:

Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) квадратной матрицы на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки (столбца) равна нулю:

Итак, приступим к нахождению неизвестной переменной x₁. Для этого умножим обе части первого уравнения системы на А₁₁, обе части второго уравнения – на А_{2 1} (то есть, уравнения системы умножаем на соответствующие алгебраические дополнения первого столбца матрицы А):

Сложим все левые части уравнения системы, сгруппировав слагаемые при неизвестных переменных x₁, x₂, и приравняем эту сумму к сумме всех правых частей уравнений:

Если обратиться к озвученным ранее свойствам определителя, то имеем

и предыдущее равенство примет вид

откуда

Аналогично находим x₂. Для этого умножаем обе части уравнений системы на алгебраические дополнения второго столбца матрицы А:

Складываем все уравнения системы, группируем слагаемые при неизвестных переменных x₁, x₂ и применяем свойства определителя:

Откуда
.

Если обозначить

то получаем формулы для нахождения неизвестных переменных по методу Крамера

, .

Пример Решить систему линейных уравнений при помощи правила Крамера:

Решение. Находим определитель основной матрицы системы

Поскольку D¹0, то для нахождения решения системы можно применить правило Крамера, но предварительно вычислим еще два определителя:

Тогда

Проверка:

Следовательно, решение найдено правильно.

Геометрическая интерпретация системы и её решения.

Как известно, уравнения с двумя переменными вида

Описывают на координатной плоскости Оху прямую. Система двух уравнений такого вида означает, что ее решения как точки на координатной плоскости должны принадлежать одновременно двум прямым, соответствующим уравнениям этой системы.

Отсюда возможны следующие варианты:

а) обе прямые пересекаются, и тогда система имеет единственное решение;

б) прямые параллельны, и система не имеет решения (несовместна);

в) прямые совпадают, т. е. ранг системы равен единице, и система имеет бесчисленное множество решений.

2. Асимптоты: вертикальные и наклонные.

Прямая называется асимптотой кривой, если точка кривой неограниченно приближается к ней при росте абсциссы или ординаты.

Асимптоты разделяют на вертикальные, наклонные (горизонтальные) асимптоты.

Вертикальные асимптоты

График функции при аргументе, который стремится к точке имеет вертикальную асимптоту, если предел функции в ней бесконечен

Кроме этого точка является точкой разрыва II рода, а уравнение вертикальной асимптоты имеет вид . В частности:

если , то x = a - вертикальная правосторонняя асимптота;

если , то x = a - вертикальная левосторонняя асимптота.

наклонные асимптоты

Уравнение наклонной асимптоты имеет вид , где - пределы, которые вычисляются по правилу :

Если оба пределы существуют и конечны то функция имеет наклонную асимптоту, иначе - нет.

Если , то прямая y = kx + b - наклонная асимптота вправо,

Если , то прямая y = kx + b - наклонная асимптота влево,

Билет 2

1. Минор, дополнительный к выделенному элементу матрицы.

Минором элемента матрицы n-го порядка называется определитель матрицы (n-1)-го порядка, получаемой из матрицы вычеркиванием i-й строки и j-го столбца, на пересечении которых находится элемент a_ij