Одношаговые методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка.



Пусть дана система ДУ 1-го порядка (1), с начальными условиями (2).

В этом случае получаем:

(3),

где ,

 (4),

где коэффициенты k, l определяются следующим образом:

;

;

;

;

;

;

;

.

И тогда решение в (i+1) точке находится по формуле (3).

Решение систем дифференциальных уравнений методом Адамса.

Пусть задана система 2-х дифференциальных уравнений

y’=f1 (x,y,z)

z’=f2 (x,y,z) (1) 

c начальными условиями y(х0)=y0, z(x0)=z0.                                                                                

Тогда для системы 2-х уравнений решения по экстрополяционной формуле Адамса можно записать в виде:

, ,

где ,     (3)

 

 

Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми

y = 2x - x2,                         x + y = 0.

Решение

x = 0, x = 3

Ответ: 9/2.

 

19Найти базис и размерность линейной оболочки векторов из , где

Решение:

Рассмотрим систему векторов , . И пусть θ, θ=0+0х+0х2

Это приводит к системе:

 Система имеет единственное решение:

И поэтому вектора ,  линейно независимы.

Рассмотрим систему векторов , ,  (1)

Пусть

Это приводит к системе:

Определитель системы ≠ 0 → система имеет единственное нулевое решение. Значит, система векторов (1) является базисом линейной оболочки. LimL(a1, a2, a3)=3

Ответ: базис: , , , LimL(a1, a2, a3)=3

 

Билет 20

Производная ф-ции комплексного переменного. Аналитичность. Степенной ряд, круг его сходимости. Ряд Тейлора.

Пусть f опред в обл Д, тогда произв в т.z. Пусть f опред в некот окр т. . Если сущ кон пред , то он назыв произв функ f в т. Z0 и об-ся . Из опред произв и св-в пред получ осн прав диф-я, аналог соотв-м прав диф-го исчисл ф-й действит перем.

Фун f, опред в окр т. , назыв аналит-ой в т. , если она диф-ма в нек окр этой т. Т.о. множ-во точек аналитичности ф-ии открыто. Ф-я, анал-я в кажд т.откр множ Д, наз аналитич в Д, или голоморфной, моногенной, правильной. Ф-я , назыв анал-ой в замкн обл , если сущ анал ф-я , так, что обл Д1 сод  и для всех . Анал ф-я во всей пл-ти С назыв целой.

-степ ряд. Ему можно пост в соотв рад R и круг с центр в т.  рад R, U(z0,R) – круг сход-ти. R-рад сх-ти, U(0,R) –круг сх-ти.

Теор: Если ф-я f анал-я, то в окр произ т. ,  ф-я , причём R ряда не меньше, чем , а коэф , где =окр с центр в т. , . Ряд назыв рядом Тейлора.

 

 

Симплекс-метод (критерий оптимальности, алгоритм).

Основной метод ЛП - СМ, разработанный для специальной задачи в канонической форме:

c'x→max, Ax=b, x≥0. (1)

ЦФ - maxимизируется, а все переменные имеют ограничения.

Введем обозначения:

J={1,…,n} - множество индексов переменной xj.

I= {1,…,m} - множество #-ов основных ограничений.

aj= Є Rm- j-ый столбец матрицы А. Вектор х Є Rm - базисный план (1), . если он удовлетворяет всем ограничениям задачи, и его переменные разбиты на 2 группы: 1. базисные: xj1,… xjm.; и 2. не базисные xj, j Є Jh=J\JБ. Причем: 1. xj=0, j Є Jh.; 2. aj, jЄJБ - линейно независимы в Rm. 3. Если составить матрицу АБ= (aj, jЄJБ), то det АБ≠0. Эта матрица называется базисной.

Критерий оптимальности: Пусть известен БП (xj, JБ), тогда: ∆н≥0 - достаточно, а для невыражденного БП необходимо для его оптимальности.

Достаточно: пусть ∆н= хн - хн ≥0., хн ≥0, хн =0. Тогда: с'х - c'x, для всех х ЄХ, х - оптимум.

Необ-мо: Пусть х -ОБ и невырожденный план → хБ>0.

Предположим противное, т.е. существует j0ЄJн: ∆j0<0.

Построим вектор приращений ∆х с.о.: пусть ∆хj=0, j Є Jh\r0, а ∆хj0= Θ≥0.

Базисные компоненты приращений подбирают т.о. что бы оставалось А∆х=0 и ∆хБ= -А-1БАн∆хн.

При выполнении этих условий вектор ∆х будет удовлетворять основным ограничениям задачи (1). →∆хБ= - ΘА-1БАнaj0. Построим вектор хн = х+∆х.

Θ можно подобрать т.о., ч.б. вектор х был планом задачи, т.е. х>0.

Тогда, план х лучше х, т.е. получаем противоречие с оптимальностью х.

Алгоритм:

Пусть имеется объект, поведение которого надо оптимизировать.

1.изучение и описательное регулирование.

а) изучение структуры объекта.

б) изучение основных способов функционирования составных частей.

в) выясняют цель оптимизации.

г) собирают конкретную цифровую информацию о структуре функции и цели объекта.

2. Мат-кое моделирование.

а) построение неизвестных параметров х1,…,хn, которые однозначно описывают поведение объекта изменением которых можно выполнить достижение цели.

б) запись основных связей и закономерностей функционирования объекта с помощью введенных неизвестных хjи мат. операций. В результате приходим к системе ограничений на хj. В совокупности все эти ограничения и задают множество планов Х, а именно: вектор х т.т.т. является планом, если он удовлетворяет всем ограничениям одновременно.

в) запись с помощью неизвестных и мат. операций ЦФ f(x).

После чего, мы приходим к задаче в форме (1).

3. Теоретическое исследование и выбор метода, вкл. в себя:

а) выяснение к какому классу задач оптимизации относится наша.

б) изучении теории по данному классу задач и методах которые для него имеются. Если нет, то работают доп. исследования, учитывающие специфику задачи. Модифицируется или разрабатывается новый метод.

4. Построение ОП.

а) выясняем им-ся ли программа реализации нашего метода: Да- то используем; Нет- строим свою.

б) вводим в программу числовые параметры конкретной задачи.

5. Исследование. Сравнивается полученный ОП с реальным поведением объекта. Если есть возможность, то проводим эксперимент.

Если решение нас не удовлетворяет, то процесс решения задачи оптимизации может быть улучшен на всех этапах 1-4. При решении задачи оптимизации, возможны ошибки погрешности во всех 5 пунктах.


Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 217;