Мера. Мера Лебега на прямой. Интеграл Лебега:                      определение и свойства.



ОПР.Пусть S-полукольцо подм-ва мн-ва Ф(X).Числовую ф-цию опр-ю на полукольце S приним-ю знач-я из не равную тождественно (т.е.  б. наз. мерой, если она аддитивна,т.е. мн-в : число наз мерой мн-ва А

ОПР Мера наз счетно-аддитивной если из

счетно-адд1. меру также наз аддитивной ОПР мера наз конечной, если  ОПР мера наз конечной, если кон. или ,счетное числ их:

ОПР Пусть мера опр-я на полук-це S, мера опр-ная на полуко-льце наз продолжением меры ,если 1) 2)

Т Пусть полук-цо и мера опр-на , и един-ное прод-ние меры на с наим. кол-м содер-м S и если адд-я,то аддитивная.

СВ-ВА МЕРЫ 1) если A,B   2) если 3)если

4)чтобы б. адд-на

5) Пусть адд-ная на S и посл-ть явл неубыв,т.е.  6) пусть аддит. на S и пос-ть невозр:

Т мера Лебега на прямой аддитивна Д Пусть ,т.е.

Ин-л Леб для пр-х ф пр-во полной мерой

 Опр ф-ю h(x) опр на мн-ве E б.наз.простой если измерима на мн-ве Е Опр Пусть знач-я ф-ции h(x) и мн-во на кот h(x) принимает знач

ОПР Ин-лом Л. для неотр ф-ций f измеримой на Е наз число= h-простая на Е}и Ин-л Л. Пусть f измерима на Е, расс-м ф-и ,они неотриц-е и измеримы на Е и справедливо опр измеримую на мн-ве Е ф-ю б.наз. интегрируемой на Е, если ,если интегрируема,то  интег-емы в силу нер-в поэтому опр-на разность кот наз ин-лом от ф-ции f по мн-ву Е

СВ-ВА 1) если ф-ции f и g интег-емы на Е и на Е

2) если на Е вып-но и g интег-ема на Е f интег-ма на Е

3) если ф-ции f и g интег-мы на Е тоже инт-мы на Е

и  4) (счетная аддитивность ин-ла Л.) Пусть ин-ма на мн-веА причем ряд справа абсолютно сх-ся ,т.к.разность сх-ся есть сх-ся ряд  абсол сх-ти рядов 5) (абсол-я непр-ть ин-ла Л) f-ин-ма на Е  мера   6) если f=0 почти всюду на Е, то

 

Билет 15

 

Линейные отображения (ядро и образ линейного отображения; ранг и дефект линейного оператора, примеры; матрица линейного оператора; собственные векторы и собственные значения линейных операторов; ортогональные и самосопряженные линейные операторы; теорема об ортогональных и самосопряженных линейных операторах).

V и W-пр-ва в поле Р, -лин от-е, тогда: 1) -образ 2) -ядро лин отобр.

V-кон мерн вект пр-во над пол Р, -лин опер-р, тогда назыв рангом и обозн , а назыв дефектом и обозн .

Пусть V-вект пр-во над пол Р и пусть f-лин опер-р. Скаляр назыв собств знач опер-ра, если в пр-ве V найд так ненул в-р х, для кот вып рав-во . При этом так в-р х назыв собст-м в-м лин опер f принадлеж собст знач . Теор: Пусть f-лин оперкон мерн вект пр-ва V, тогда спр след утв: 1) кажд собст знач лин опер f явл корнем хар-го мн-на лин опер; 2) люб кор хар-го мн-на опер f принадл полю Р и явл соб знач опер.

Опер f пр-ва V назв ортогон, если он не измен скал произвед, т.е. если им место (х,у)=(f(x),f(y)).

Лиин опер f пр-ва V назыв самосопр, если f=f*, т.е. если (f(x),y)=(x,f(y)), /

Теор: Лиин опер f кон мерн пр-ва V явл самосопр относит ортонормир пр-ва V матрица опер f явл-ся симметрической.

Теор: Для люб лин опер-ра f кон мерн пр-ва V найд так ортогон опер g и так самосопр опер h, что f=gh.

Матр А назыв сим-ой, если А=АТ, т.е.


Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 679; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:






Мы поможем в написании ваших работ!