Интерполирование ф-ций. Единственность интерполяционного многочлена. Формула Лагранжа.



Если ф-ция f(x) непрерывна на [a,b] и известна её первообразная F(x), то определенный интеграл этой ф-ции в пределах от a до b может быть вычислен по формуле Ньютона-Лейбница:

Однако во многих случаях первообразная F(x) не может быть найдена с помощью элементарных средств или является слишком сложной. Кроме того, в ряде случаев подынтегральная ф-ция f(x) задаётся в виде таблицы. Все это приводит к необходимости замены интегрирования численными методами.

Задача численного интегрирования:

Найти определенный интеграл на [a,b], если подынтегральная функция на этом отрезке задана таблично. Формула численного интегрирования интегралов наз-ся квадратурой. Обычный приём получения квадратурных формул состоит в следующем: данную ф-цию f(x) на [a,b] заменяют интерполирующей или аппроксимирующей функцией φ(x) простого вида, а затем полагают, что

Ф-ция φ(x) должна быть такова, чтобы  вычислялся непосредственно.

Пусть для ф-ции y=f(x) известны в (n+1) точках  значения ф-ций .

Требуется приближенно найти .

По заданным значениям yi построим полином Лагранжа (1)

И, заменяя функцию f(x) на Ln(x), получим формулу:

(2),

где Rn(f) - погрешность или ошибка (остаточный член) квадратурной формулы (2).

Воспользовавшись формулой (1) получим приближенную квадратурную формулу:

где коэффициенты Ai вычисляются по формуле:

(4)

ω(x)=(x-x0)(x-x1)…(x-xn)

если пределы интегрирования a и b являются узлами интерполяции, то квадратурная формула (3) называется формулой закрытого типа, в противном случае – открытого типа.

Для вычисления коэффиц. Ai отметим:

1) Ai при заданном расположении узлов не зависит от выбора f(x);

2) Для полинома степени n ф-ла (3) точна, т.к. Ln(x) f(x);

3) Правила, коэф-ты кот вычисляются по ф-ле (4) наз. правилами интерполир типа.

 

 

18Вычислить .

 

 

Билет 19

Компактные операторы. Альтернатива Фредгольма.

Отображение норма действ из вект. пр-ва Х в R будем называть нормой на Х если 1)||x||≥0 " хÎХ ||x||=0 óx=0; 2)||λx||=|λ|·||x|| " хÎХ, " λÎК; 3) ||x+y||≤||x||+||y||

Векторное пространство Х с заданной на нем нормой наз-ся нормированным пространством." нормированное пр-во явл. метрическим пр-вом. Метрика вводится след-м образом r(х,у)=||x-y||. Проверим, что выполняются аксиомы метрики: 1)r(х,у)=0 Þ ||x-y||=0 Þx=y ||x-x||=0 (обратное очевидно); 2)очевидно ||x-y||=||y-x||; ||x-y||=||(-1)(y-x)||=|-1| ||y-x||= ||y-x||; 3)r(х,у) ≤r(х,z)+ r(z,у). Полное нормированное пространство наз банаховым простр. (полное нормированное простр-во явл метрическим, то понятие полного нормированного прост-тва означает, что оно полное как метрич пр-во относительно метрики r(х,у)= ||x-y||

Линейный оператор А:Е1®Е212 банаховы пр-ва) наз компактным или вполне непрерывным, если он всякое ограниченное мн-во в пр-ве Е1 переводит в предкомпактное мн-во в пр-ве Е2. Мн-во в топологическом пр-ве явл предкомпактным если оно содержится в компактном мн-ве или его замыкание компактно.

Т-ма: Оператор А:Е1®Е212 банаховы пр-ва) явл компактным т.и т.т., когда из " ограниченной последовательности {хnnÎЕ1 можно выделить подпоследовательность {хк}:последовательность {Ахnk} сходится в Е2.

Т-ма (Альтернатива Фредгольма): Пусть Е – банахово пр-во К- компактный оператор действующий из Е в Е. Рассмотрим уравнение х-kх=у(1), х-kх=0(2), f-k*f=g(3),            f-k*f=0(4),где х – неизвестный вектор в Е, у- известный вектор в Е, f – неизвестный вектор в Е*, g - известный вектор в Е*, к* - сопряженный оператор к К, тогда 1) уравнение (1) разрешимо и причем имеет единственное решение для "уÎЕ Û однородное ур-е (2) имеет только нулевое решение, 2) ур-е (1) разрешимо для тех и только тех уÎЕ, для которых f(у)=0 "f удовлетворяющего уравнению (4), 3) уравнение (3) и (4) имеют одинаковое и при том конечное число линейно независимых решенией.

 


Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 278;