Найти решение указанной ниже задачи



 

 

Билет 17

Нормированные прос-тва (банаховы прост-ва; гильбертовы прос-тва; ортогональные системы; ряды Фурье; равенство Парсеваля; нерав-во Бесселя).

Отображение норма действ из вект. пр-ва Х в R будем называть нормой на Х если

1)||x||≥0 " хÎХ ||x||=0 óx=0; 2)||λx||=|λ|·||x|| " хÎХ, " λÎК; 3) ||x+y||≤||x||+||y||

Векторное простр-во Х с заданной на нем нормой наз-ся нормированным прос-твом.

" нормированное пр-во явл. метрическим пр-вом. Метрика вводится след-м образом r(х,у)=||x-y||

Проверим, что выполняются аксиомы метрики: 1)r(х,у)=0 Þ ||x-y||=0 Þx=y ||x-x||=0 (обратное очевидно); 2)очевидно ||x-y||=||y-x||; ||x-y||=||(-1)(y-x)||=|-1| ||y-x||= ||y-x||; 3)r(х,у) ≤r(х,z)+ r(z,у)

Полное нормированное прос-тво наз банаховым простр. (полное нормированное простр-во явл метрическим, то понятие полного нормированного простр-ва означает, что оно полное как метрич пр-во относительно метрики r(х,у)= ||x-y||

Пусть Н- линейное пр-во над полем К, если каждой паре (х,у)ÎН поставлено в соответствие некоторое число (х,у)ÎК причем выполнены Þ-е условия:

1)(х12)у=х1у+х2у, (lх,у)=l(х,у) "х12,х,уÎН "lÎК (линейность по первой координате); 2)(х,у)=(у,х); 3)(х,х)³0 (х,х)=0 Þх=0 то говят, что на пр-ве Н введено скалярное произ . Векое пр-во с введенным на нем скалярным произв наз прелгильбертовым пр-вом или евклидовым.

Т-ма В предгильбертовом пр-ве справедливо неравенство Коши-Буняковского: ||(x,y)||£ ||x||×||у||, ||x||=Ö(х,у)

Доказательство: Если х=0, то нер-во очевидно т.к. (0,у)=(х11,у). Пусть теперь у¹0 z=lу (х-z,у)=0 т.е. (х-lу,у)=0 Þ (х,у)-l(у,у)=0 Þl= 0£(х-lу,х-lу)=(х-lу,х)-l(х-lу,у)=(х-lу,х)=(х,х)-l(у,х)=(х,х)- (у,х)= (х,х)- =(х,х)- =||x||2-|(x,y)|2× ³0

Т-ма 2 ||x||= определяет норму в пр-ве Н (евклидово пр-во). Т-ма 2 ||x||= определяет норму в пр-ве Н (евклидово пр-во).

Предгильбертово пр-во полное относительно нормы ||x||= наз гильбертовым пр-вом.

Т-ма 3 Всякое предгильбертово пр-во можно пополнить до гильбертова. Это осуществляется следующим образом т.к. предгильб пр-во является нормированным, то оно является и метрическим, а всякое метрическое имеет пополнение. Пусть Н0 – предгильбертово пр-во обозначим ч/з Н пополнение Н0 как метрического пр-ва если (х,у)ÎН,но ÏН0, то $ последовательность {хn} хnÎН0 и ${уn} уnÎН0 : хn сход к х, уn®у (х,у)= ( хn, уn) $ -е предела Þ т из непрерывности скалярного произведения которое доказывается с помощью неравенства Коши-Буняковского.

Система векторов (еi) в предгильбертовом пр-ве Н наз ортогональной, если " 2 вектора различные этой системы ортогональны. 2 вектора ортогональны, если их скалярное произведение =0.

Система векторов (еi) i£N наз ортонормированной если (ei,ej)=

Cn=(x,en) – коэффициенты Фурье, элемента хÎЕ,по ортонормированной системе {ек}, а ряд наз рядом Фурье элемента х по ортонормированной системе {ек}

Нераво Бесселя: Если {ск} ортонормированная система в предгильбертовом пр-ве Н, то для " эле-та хÎН справедливо нер-во . Дока-во: т.к. ||x- ||2³0 , а ||x- ||2=(х,х)- =||x||2 Þ £ ||x||2 переходя к пределу при n®¥ получим нера-во Бесселя. Ортонормированная система наз замкнутой если нер-во Бесселя обращается в равенство = ||x||2 его называют равенство Парсеваля Стеклова.

 

17Аксиоматический метод. Аксиоматическое построение евклидовой геометрии (системы аксиом Гильберта и Вейля). Геометрия Лобачевского. Модель Кэли-Клейна.

База – 3 мн-ва: E-точки, V-вектора, R-действит числа

1. Аксиомы соответствия точек и векторов

· в E существует по крайней мере одна точка

2. аксиомы сложения в-в

· (компактность сложения)

·

·

·

·

3. аксиоматика размерности пр-ва

· сущ. 3 лин. независимых в-ра, 4 любых в-ра лин. зависимы

4.

·

·

·

·

Лобачевский и его геометрия.

В течении первых лет преподавательской деятельности в университете Н. И. Лобачевский настойчиво пытался док-ть V постулат. Неудачи этих попыток и попыток его предшественников привели его к выводу, что V постулат не может быть выведен из остальных постулатов геом-рии. Чтобы док-ть это, Н. И. Лобачевский построил логическую сис-му, в к-рой, сохраняя основные посылки Евклида, он отвергает V постулат и заменяет его противоположным допущением. Он пришел к выводу, что эта схема представляет собой новую геом-рию, к-рая может быть развита так же успешно, как и гео-рия Евклида.

Лобачевский развивает свою гео-рию на пл-ти и в прост-тве до тех же пределов, до каких была развита Евклидова гео-рия, включая и формулы тригон-трии. Эту новую гео-рию он назвал «воображаемой» (впоследствии ее стали наз-ть гео-рией Лобачевского или гиперболической геометрией).

Открывая все новые и новые факты, Лобачевский не встретил в своей гео-рии каких-либо противоречий. Иссле-ния, проделанные им, привели к убеждению, что его логическая схема свободна от логических противоречий. Желая показать, что его гео-рия никогда не приведет к противоречию, Лобачевский дает ее аналитическое исследование и решает проблему непротиворечивости своей геометрии вполне удовлетворительно для того времени.

Лобачевский показал, что его гео-рия может быть с пользой приложена в математическом анализе: он вычислил много интегралов, к-рые до него не поддавались вычислению.

База: точки, прямые, пл-сти


Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 510; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:






Мы поможем в написании ваших работ!