Плоское напряженное состояние

⇐ ПредыдущаяСтр 7 из 20Следующая ⇒

Ставится задача: найти величины напряжений и , действующих на наклонной площадке, если известны напряжения на сопряженных гранях элементарного куба (рис. 4.4, а).

Рис. 4.4 К анализу плоского напряженного состояния

Мысленно отбросим верхнюю часть куба, сделав разрез по площадке, наклоненной к его основанию под углом . Предположив, что , сделаем переход от напряжений к силам, а затем запишем уравнения равновесия оставшейся части куба с учетом, что .

;

, (4.6)

;

. (4.7)

Проанализируем выражение (4.6):

для чего продифференцируем его

. (4.8)

Значение первой производной так же, как и в случае линейного напряженного состояния, отличается от выражения для (4.7) только множителем – 1/2. Следовательно, на площадке, где достигнет экстремального значения, , а сама площадка будет главной. Ее положение может быть определено, если выражение первой производной или выражение (4.7) будут приравнены нулю.

. (4.9)

Выражение для может иметь и другие написания, зависящие от места и в формуле или при замене на .

Если исходные площадки будут главными, то формулы (4.6) и (4.7) примут вид

, (4.10)

. (4.11)

Здесь , , а .

Из формулы (4.11) следует, что экстремальные значения касательных напряжений будут на взаимно перпендикулярных площадках, образующих углы ± 45^° с главными площадками. На них

. (4.12)

Экстремальные значения , то есть главные напряжения, могут быть найдены с помощью круга Мора.

ЛЕКЦИЯ 5

Обоснование круга Мора

Пусть известные два главных напряжения и , причем , тогда по формуле (4.10)

1. Заменим и получим

Отложим и от произвольной точки отсчета «0», как от начала координат (рис. 5.1): , .

Рис. 5.1 К обоснованию круга Мора

2. Проведем из точки прямую под углом к оси , и опустим на нее из точки перпендикуляр , а из точки – перпендикуляр на ось , тогда

; ,

поэтому

то есть расстояние от начала координат 0 до основания перпендикуляра равно нормальному напряжению , возникающему на наклонной площадке.

3. ,

то есть высота перпендикуляра равна касательному напряжению , возникающему на наклонной площадке.

Если проводить прямые под различными углами , то точка , оставаясь вершиной прямого угла, будет перемещаться по дуге окружности с диаметром . Построенная на этом диаметре окружность получила название круга Мора.

Прямая задача круга Мора

Известны и , причем . Необходимо найти и на площадке, наклоненной к площадке с под углом , и и на площадке, сопряженной с ней. Ход решения (рис. 5.2) таков:

1. Откладываем от начала координат «0» и , причем ось совпадает с направлением площадки, на которой действует .

2. Строим круг на диаметре , равном – , с центром в точке .

Рис. 5.2 Прямая задача круга Мора

3. Проводим хорду под заданным углом , который всегда отсчитывается от площадки, где заданы напряжения , к площадке, где ищутся напряжения. Таким образом, направление хорды совпадает с направлением площадки, на которой действуют и .

4. Опускаем перпендикуляр и получаем и .

5. Проводим диаметр и опускаем перпендикуляр на ось . Отрезок равен , а перпендикуляр равен . Направление хорды совпадает с направлением площадки, где действуют эти напряжения.

Из прямой задачи круга Мора видно:

1. При точка и точка совпадут с точкой , площадка будет главной, так как , а .

2. , и .

3. .

4. При точка и точка совпадут с точкой . Это дает направление второй главной площадки, так как .

Вывод из прямой задачи круга Мора: и могут быть найдены, если известны , , и , то есть напряжения на любых взаимно перпендикулярных площадках. Этой цели служит обратная задача круга Мора.

Обратная задача круга Мора

Известны , , , , , (рис. 5.3). Необходимо найти величины главных напряжений и положение главных площадок.

Ход решения.

1. Откладываем и

2. Соединяем прямой точки C и C₁ и проводим круг на диаметре CC₁ с центром в точке Z –получаем и .

3. Проводим хорду AC. Угол между AC и AB и есть угол , на который следует делать поворот, чтобы попасть с заданной площадки с и на площадку с (см. рис. 5.3). Вторая главная площадка перпендикулярна к первой (с ).