Тема 9. Непрерывный и переменный аннуитеты



 

Если в течение каждого базового периода денежные посту­пления происходят очень часто, так что промежутки между по­следовательными поступлениями представляют собой беско­нечно малые величины, то аннуитет считают непрерывным, т.е. денежные поступления происходят непрерывно с постоянной интенсивностью: одно и то же количество денежных единиц в единицу времени.

Аннуитет называется переменным, если его члены различны по величине. Для оценки переменного аннуитета используют, вообще говоря, общие формулы оценки денежного потока.

Если члены аннуитета изменяются в соответствии с неко­торыми законами (в частности, образуют арифметическую или геометрическую прогрессию), то общие формулы для определе­ния будущей или приведенной стоимости аннуитета можно уп­ростить.

 Чтобы при оценке переменного аннуитета без явно выра­женной зависимости между его членами пользоваться стандарт­ными формулами, надо стараться представить этот аннуитет в виде суммы или разности постоянных аннуитетов.

Основные формулы раздела

 

Оценка непрерывного аннуитета:

 

                                           (9.1)

                                  (9.2)

Оценка непрерывного аннуитета в случае начисления непрерывных процентов:

 

                                     (9.3)

                                  (9.4)

Оценка переменного аннуитета постнумерандо, платежи которого образуют арифметическую прогрессию:

                              (9.5)

                    (9.6)

Оценка переменного аннуитета постнумерандо, платежи которого образуют геометрическую прогрессию:

                                     (9.7)

                               (9.8)

 

 

Типовые задачи с решениями

Задача 1

 В течение 4 лет на счет в банке ежедневно бу­дут поступать одинаковые платежи, каждый год составляя в сумме 10 тыс. руб. Определите сумму, накопленную к концу четвертого года при использовании процентной ставки 15% го­довых, если начисление сложных процентов осуществляется ежегодно.

Решение

Полагаем n =4, т =1, r =15%. Поскольку пла­тежи поступают достаточно часто, будем считать, что они по­ступают непрерывным образом. Тогда можно воспользоваться формулой (9.1) для определения наращенной суммы непрерывного аннуитета при  тыс.руб.

тыс. руб.

Сравним этот результат со значением, полученным по фор­муле р- срочного аннуитета, предполагая, что в году 360 дней и дан аннуитет постнумерандо. Так как р = 360, А = 10/360, получим:

тыс. руб.

Видим, что полученные величины отличаются незначитель­но (всего на 11 руб.).

 

Задача 2

Фирма намеревается выпускать некоторую продукцию в течение трех лет, получая ежегодно выручку в размере 30 млн. руб. Предполагается, что продукция в течение года будет продаваться более или менее равномерно. Оцените ожидаемые денежные поступления, если применяется непре­рывная ставка 20% за год.

Решение

Поскольку в условии говорится о более или менее равномерном распределении продаж в течение года, то логично предполагать, что интенсивность потока выручки будет в какой-то мере постоянной величиной, равной 30 млн руб. в год. Счи­тая, что денежные поступления происходят непрерывно, вос­пользуемся формулами для определения соответ­ственно будущей и приведенной стоимости непрерывного ан­нуитета (9.3) и (9.4). Полагая  млн руб., п = 3, s = 0,2, получим:

млн.руб.

 млн.руб.

 

Задача 3

Финансовая компания в течение пяти лет в соответствии со своими обязательствами должна выплачивать вкладчикам по 20 млн. руб. ежегодно. Какой суммой должна располагать компания, чтобы иметь возможность выполнить обязательства, если норма доходности составляет 30% за год и выплаты происходят постоянно и достаточно равномерно?

Решение

Воспользуемся формулой (9.2) для определения приведенной стоимости непрерывного аннуитета, при , n=5, m=1, r=30%:

млн. руб.

Таким образом, имея 55,7 млн. руб., компания способна выполнить свои обязательства перед вкладчиками.

 

Задача 4

Согласно условиям финансового соглашения на счет в банке в течение 8 лет: а) в конце года; б) в начале года будут поступать денежные суммы, первая из которых равна 4 тыс. руб., а каждая следующая будет увеличиваться на 0,5 тыс. руб. Оцените этот аннуитет, если банк применяет процентную ставку 20% годовых и сложные проценты начисляются один раз в конце года. Как изменятся оценки аннуитета, если денежные суммы будут уменьшаться на 0,5 тыс. руб.?

Решение

а) Согласно условию имеем переменный аннуитет постнумерандо с постоянным абсолютным изменением его членов и, следовательно, для оценки аннуитета воспользуемся формулами вычисления стоимости аннуитета с изменяющейся величиной платежа. По условиям соглашения           А =4 тыс. руб., n=8, r =0,2, и если суммы возрастают, то z=0,5 тыс. руб.

Поэтому по формуле (9.5):

 тыс. руб.

тыс. руб.

Если суммы будут уменьшаться, то z = –0,5 и, следовательно, по формуле (9.6):

 тыс.руб.

 

 тыс.руб.

 

б) Оценки аннуитета пренумерандо нетрудно получить, используя соотношения:

, поэтому:

если z=0,5, тогда:

FV=87,244×1,2=104693 руб.,

PV=20,29×1,2=24348 руб.

Если z= –0,5, тогда:

FV=44,749×1,2=53699 руб.

PV=10,408×1,2=12490 руб.

 

Задача 5

За 6 лет необходимо накопить 30 тыс. руб. Какой величины должен быть первый вклад, если предполагает­ся каждый год увеличивать величину денежного поступления на 800 руб. и процентная ставка равна 25% годовых? Денежные поступления и начисление сложных процентов осуществляются в конце года. Определите, на какую величину необходимо уве­личивать каждый год денежное поступление, если первый вклад будет равен 2 тыс. руб.

Решение

Полагая в формуле (9.5) руб., z=0.8 тыс. руб., n=6, r=0, 25, получим уравнение:

30=(А+0,8/0,25)×11,2588–(0,8×6)/0,25,

из которого находим размер первого вклада:

А=1,170 тыс. руб.

Если же известна величина первого вклада А=2 тыс. руб. и неизвестна величина z абсолютного изменения денежных по­ступлений, то запишем уравнение:

30=(2+z/0,25)×11,2588–(z×6)/0,25, откуда:

z=0,356 тыс. руб.

 

Задача 6

По условиям контракта на счет в банке посту­пают в течение 7 лет в конце года платежи. Первый платеж ра­вен 4 тыс. руб., а каждый следующий по отношению к преды­дущему увеличивается на 10%. Оцените этот аннуитет, если банк начисляет в конце каждого года сложные проценты из рас­чета 28% годовых.

Решение

Поскольку ежегодно платежи увеличиваются в 1,1 раза (на 10%), то денежный поток представляет собой пере­менный аннуитет постнумерандо с постоянным относительным изменением его членов. Поэтому для оценки аннуитетта воспользуемся формулами (9.7) и (9.8). Полагая А = 4 тыс. руб., п = 7, r = 0,28 и q = 1,1, получим:                       

тыс.руб.

 

тыс.руб.

 

 


Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 819;