Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

⇐ ПредыдущаяСтр 12 из 13Следующая ⇒

Постановка задачи. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

где - многочлен степени , - многочлен степени и - действительные числа.

Алгоритм решения.

Общее решение неоднородного линейного уравнения -го порядка имеет следующую структуру:

где – фундаментальная система решений и - общее решение соответствующего однородного уравнения, - какое-нибудь частное решение неоднородного уравнения.

1. Записываем соответствующее однородное уравнение

и ищем его решение в виде , где - неизвестное число.

Подставляя и в уравнение (91) и сокращая , получаем так называемое характеристическое уравнение

2. Решаем характеристическое уравнение. Обозначим корни характеристического уравнения и . Тогда фундаментальная система решений и общее решение уравнения (91) записываются в одном из следующих трех видов:

а) если и вещественны и , то фундаментальная система решений – это и общее решение имеет вид

б) если и вещественны и , то фундаментальная система решений – это и общее решение имеет вид

в) если и комплексные, т.е. , то фундаментальная система решений – это и общее решение имеет вид

3. Ищем какое-либо частное решение неоднородного уравнения. Поскольку правая часть уравнения имеет вид

можно применить метод подбора частных решений:

если не является корнем характеристического уравнения (92), то

где и - многочлены степени с неопределенными коэффициентами;

если есть корень характеристического уравнения (92) кратности , то

где и - многочлены степени с неопределенными коэффициентами.

4. Находим неопределенные коэффициенты, подставляя в исходное уравнение.

Записываем ответ по формуле (90).

Замечание 15. Аналогично решаются линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами любого порядка.

Пример 29. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения

Решение.

1. Записываем соответствующее однородное уравнение

и ищем его решение в виде , где - неизвестное число.

Подставляя и в уравнение (95) и сокращая , получаем так называемое характеристическое уравнение

2. Характеристическое уравнение имеет два комплексно сопряженных корня .

Имеем фундаментальную систему решений

и общее решение однородного уравнения (95)

3. Ищем какое-либо частное решение неоднородного уравнения (94). В нашем случае правая часть неоднородного уравнения имеет вид (93) с .

Так как характеристическое уравнение имеем комплексные корни кратности и , то частное решение ищем в виде

где - неизвестные числа (неопределенные коэффициенты).

4. Находим неопределенные коэффициенты, дифференцируя два раза и подставляя в уравнение (94).

Приравнивая коэффициенты в обеих частях равенства при , получим четыре уравнения

из которых определяем . Таким образом,

По формуле (90) находим общее решение неоднородного уравнения

Ответ.

Условия задач. Найти общие решения дифференциальных уравнений.

1. Ответ:

2. Ответ:

Принцип суперпозиции

Постановка задачи. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения -го порядка с постоянными коэффициентами

где .

Алгоритм решения.

Принцип суперпозиции. Если правая часть уравнения (96) есть сумма нескольких функций и - какое-нибудь частное решение каздого уравнения

то в силу линейности уравнения (96) его общее решение имеет вид

где - общее решение однородного уравнения

1. Находим фундаментальную систему решений и общее решение однородного уравнения.

2. Для каждого неоднородного уравнения (97) находим частное решение (используя, например, метод подбора или метод вариации произвольных постоянных).

Записываем ответ в виде (98).

Пример 30. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения

Решение.

1. Записываем соответствующее однородное уравнение

и ищем его решение в виде , где - неизвестное число.

Подставляя и в уравнение (99) и сокращая , получаем так называемое характеристическое уравнение

Характеристическое уравнение имеет три корня и .

Таким образом, имеем фундаментальную систему решений

и общее решение однородного уравнения

2. Решаем неоднородное уравнение, используя принцип суперпозиции:

а) ищем частное решение неоднородного уравнения

в виде , где А – неопределенный коэффициент ( так как – корень характеристического уравнения кратности ).

Дифференцируя три раза и подставляя в уравнение (100), находим . Таким образом,

б) ищем частное решение неоднородного уравнения

в виде , где и – неопределенные коэффициенты (так как не являются корнями характеристического уравнения, то множитель х отсутствует).

Дифференцируя три раза и подставляя в уравнение (101), находим и . Таким образом,

Используя принцип суперпозиции (98), получаем

Ответ. .

Условия задач. Найти общее решение дифференциальных уравнений.

1. Ответ:

2. Ответ:

Метод Лагранжа

Постановка задачи. Найти решение задачи Коши для линейного неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами

с начальными условиями

Алгоритм решения.

1. Записываем соответствующее однородное уравнение с постоянными коэффициентами

Находим фундаментальную систему решений и и общее решение однородного уравнения

2. Применяем метод Лагранжа (метод вариации произвольных постоянных).

Если известна фундаментальная система решений и однородного уравнения (103), то общее решение соответствующего неоднородного уравнения (102) может быть найдено по формуле