Линейные уравнения с постоянными коэффициентами



Постановка задачи. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

где  - многочлен степени ,  - многочлен степени  и  - действительные числа.

Алгоритм решения.

Общее решение неоднородного линейного уравнения -го порядка имеет следующую структуру:

где  – фундаментальная система решений и  - общее решение соответствующего однородного уравнения,  - какое-нибудь частное решение неоднородного уравнения.

1. Записываем соответствующее однородное уравнение

и ищем его решение в виде , где  - неизвестное число.

Подставляя  и  в уравнение (91) и сокращая , получаем так называемое характеристическое уравнение

2. Решаем характеристическое уравнение. Обозначим корни характеристического уравнения  и . Тогда фундаментальная система решений и общее решение уравнения (91) записываются в одном из следующих трех видов:

а) если  и  вещественны и , то фундаментальная система решений – это  и общее решение имеет вид

б) если  и  вещественны и , то фундаментальная система решений – это   и общее решение имеет вид

в) если  и   комплексные, т.е. , то фундаментальная система решений – это  и общее решение имеет вид

3. Ищем какое-либо частное решение неоднородного уравнения. Поскольку правая часть уравнения имеет вид

можно применить метод подбора частных решений:

     если  не является корнем характеристического уравнения (92), то

где  и  - многочлены степени  с неопределенными коэффициентами;

     если  есть корень характеристического уравнения (92) кратности , то

где  и  - многочлены степени  с неопределенными коэффициентами.

4. Находим неопределенные коэффициенты, подставляя  в исходное уравнение.

Записываем ответ по формуле (90).

Замечание 15. Аналогично решаются линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами любого порядка.

Пример 29. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения

Решение.

1. Записываем соответствующее однородное уравнение

и ищем его решение в виде , где  - неизвестное число.

Подставляя  и  в уравнение (95) и сокращая , получаем так называемое характеристическое уравнение

2. Характеристическое уравнение имеет два комплексно сопряженных корня .

Имеем фундаментальную систему решений

и общее решение однородного уравнения (95)

3. Ищем какое-либо частное решение неоднородного уравнения (94). В нашем случае правая часть неоднородного уравнения имеет вид (93) с .

Так как характеристическое уравнение имеем комплексные корни  кратности  и , то частное решение ищем в виде

где  - неизвестные числа (неопределенные коэффициенты).

4. Находим неопределенные коэффициенты, дифференцируя  два раза и подставляя в уравнение (94).

Приравнивая коэффициенты в обеих частях равенства при , получим четыре уравнения

из которых определяем . Таким образом,

По формуле (90) находим общее решение неоднородного уравнения

Ответ.

Условия задач. Найти общие решения дифференциальных уравнений.

1.                                   Ответ:

2.                 Ответ:

Принцип суперпозиции

Постановка задачи. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения -го порядка с постоянными коэффициентами

где .

Алгоритм решения.

Принцип суперпозиции. Если правая часть уравнения (96) есть сумма нескольких функций  и  - какое-нибудь частное решение каздого уравнения

то в силу линейности уравнения (96) его общее решение имеет вид

где  - общее решение однородного уравнения

1. Находим фундаментальную систему решений и общее решение  однородного уравнения.

2. Для каждого неоднородного уравнения (97)  находим частное решение  (используя, например, метод подбора или метод вариации произвольных постоянных).

Записываем ответ в виде (98).

Пример 30. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения

Решение.

1. Записываем соответствующее однородное уравнение

и ищем его решение в виде , где  - неизвестное число.

Подставляя  и  в уравнение (99) и сокращая , получаем так называемое характеристическое уравнение

Характеристическое уравнение имеет три корня  и .

Таким образом, имеем фундаментальную систему решений

и общее решение однородного уравнения

2. Решаем неоднородное уравнение, используя принцип суперпозиции:

  а) ищем частное решение  неоднородного уравнения

в виде , где А – неопределенный коэффициент ( так как  – корень характеристического уравнения кратности ).

Дифференцируя  три раза и подставляя в уравнение (100), находим . Таким образом,

  б) ищем частное решение  неоднородного уравнения

в виде , где  и  – неопределенные коэффициенты (так как  не являются корнями характеристического уравнения, то множитель х отсутствует).

Дифференцируя  три раза и подставляя в уравнение (101), находим  и . Таким образом,

Используя принцип суперпозиции (98), получаем

Ответ. .

Условия задач. Найти общее решение дифференциальных уравнений.

1.                                         Ответ:

2.                                         Ответ:

Метод Лагранжа

Постановка задачи. Найти решение задачи Коши для линейного неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами

с начальными условиями

Алгоритм решения.

1. Записываем соответствующее однородное уравнение с постоянными коэффициентами

Находим фундаментальную систему решений  и  и общее решение однородного уравнения

2. Применяем метод Лагранжа (метод вариации произвольных постоянных).

Если известна фундаментальная система решений  и  однородного уравнения (103), то общее решение соответствующего неоднородного уравнения (102) может быть найдено по формуле

где функции  и  определяются из системы линейных алгебраических уравнений

Интегрируя, находим функции  и  и записываем общее решение неоднородного уравнения.

3. используя начальные условия (102’), находим решение задачи Коши.

Записываем ответ в виде .

Пример 31. Найти решение задачи Коши

с начальными условиями .

Решение.

1. Записываем соответствующее однородное уравнение:

Находим фундаментальную систему решений   и   и общее решение однородного уравнения

2. применяем метод Лагранжа (метод вариации произвольных постоянных):

  а) ищем решение данного неоднородного уравнения в виде

  б) записываем систему уравнений для определения функций :

Решая ее (так как решение ищем в окрестности точки , то ), получим

Интегрируя, находим

  в) записываем полученное общее решение данного неоднородного уравнения

3. используя начальные условия, определяем константы  и .

Так как

то . Так как

то .

Ответ. ю

Условия задач. Найти решения задач Коши для дифференциальных уравнений.

1. Ответ:

2.     Ответ: .


Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 178; ЗАКАЗАТЬ РАБОТУ