Дифференциальные уравнения высших порядков
Основные понятия. Теорема Коши.
Дифференциальное уравнение n-го порядка имеет вид
или 
Задачей Коши для дифференциального уравнения (19) называется задача отыскания решения 
, удовлетворяющего заданным начальным условиям.
Общим решением уравнения (18) или (19) называется такая функция 
, которая при любых допустимых значениях параметров 
является решением этого дифференциального уравнения и для любой задачи Коши с условиями (20) найдутся постоянные , определяемые из системы уравнений:
Уравнение 
, определяющее общее решение как неявную функцию, называется общим интегралом дифференциального уравнения.
Теорема существования и единственности решения задачи Коши.
Если дифференциальное уравнение (19) таково, что функция 
в некоторой области D изменения своих аргументов непрерывна и имеет непрерывные частные производные 
, то для любой точки 
существует такой интервал 
, на котором существует и притом единственное решение этого уравнения, удовлетворяющее начальным условиям (20).
Уравнения, допускающие понижения порядка.
Уравнения, содержащие только производную порядка n и независимую переменную.
Эти уравнения имеют вид: 
.
Если удаётся это уравнение разделить относительно 
, то оно записывается так: 
.
Общее решение имеет вид: (22)
Из этого видно, что для получения общего решения уравнения (21) нужно n-раз проинтегрировать функцию 
и прибавить к полученному результату многочлен от х степени (n-1), коэффициентами которого являются произвольные постоянные.
|
|
|
Если задача Коши решается для уравнения (21) с начальными условиями, то частное решение уравнения (21) примет вид:
Пример 12. Найти общее решение уравнения 
и его частное решение, удовлетворяющее начальным условиям 
.
Интегрируя первый раз, получаем 
. Повторное интегрирование дает: 
.
Это и есть общее решение. Подставив теперь в полученное общее решение и в выражение для первой производной 
и соответственно 
получим систему двух уравнений с неизвестными 
и 
. Решив ее, найдем значения параметров 
и 
, соответствующие искомому частному решению, которое, следовательно, имеет вид 
.
Второй тип: Уравнения, не содержащие искомой функции.
Уравнение порядка n, не содержащее искомой функции, имеет такой вид:
(23)
Порядок его может быть понижен на единицу с помощью подстановки 
(24), где 
- новая функция. Эта подстановка приводит к уравнению 
(25)
Если уравнение (22) не содержит ни искомой функции у, ни ее производных до порядка (k-1) включительно, т.е. имеет вид 
(26),то его порядок может быть понижен на k единиц при помощи подстановки 
.
После определения функции уравнение (26) оказывается приведенным к виду уравнения (21). К этому же типу уравнений относятся и такие, которые содержат только две последовательные производные, т.е. уравнения вида 
. Если это уравнение можно решить относительно , то оно принимает вид 
и интегрируется подстановкой 
(27), которая приводит к уравнению 
. Определив из этого уравнения функцию и подставив ее в (27) придем к уравнению (21).
|
|
|
Пример 13. 
подстановка
, а это уравнение с разделяющимися переменными.
Проверяем на особые решения (мы делили на 
и могли потерять)
- особое решение.
Третий тип: Уравнения, не содержащие независимой переменной.
Эти уравнения имеют в общем случае такой вид: 
(28)
Понижение порядка на единицу достигается подстановкой 
, где 
- новая искомая функция. В этом случае за независимую переменную принимается не х, а у. Поэтому вторая и последующие производные должны быть преобразованы так, чтобы независимой переменной была у.
, так как 
(29)
Поэтому уравнение (28) перепишется так: 
Если удается найти общее решение этого уравнения, то оно будет иметь вид: 
(30)
Так как 
, то (30) – уравнение первого порядка, из которого определится искомая функция у.
|
|
|
Частный случай.
Если уравнение (28) имеет вид 
(31) и его удается разрешить относительно y’’ так, что 
(32), то интегрирование кроме указанного приема можно провести так: умножим обе части на и приведем уравнение к виду
(33)
Левая часть этого уравнения 
, а в правой части 
, поэтому (33) перепишется так:
, отсюда 
, 
Последнее уравнение допускает разделение переменных, проинтегрировав его, найдем:
, т.е. определим х как функцию от у.
Следует отметить, что этот прием интегрирования уравнения (31) не дает ничего существенно нового по сравнению с указанным общим приемом замены y’’ по формулам (29).
Замечание 8. К уравнению вида (31) приводятся также и уравнения вида 
, содержащие только две производные, порядки которых отличаются на две единицы. В этом случае применяется подстановка 
.
Пример 14. Найти общий интеграл уравнения 
.
Пусть , тогда по формулам (29) 
, тогда уравнение перепишется так 
, разделяя переменные, получаем 
(произвольную постоянную мы ввели под видом с тем, чтобы в последующем извлечь корень из 4)
, так как , последнее уравнение перепишется так: 
. Разделяя переменные, получаем 
. Интегрируя, получаем , 
, окончательно получаем:
.
Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 595; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!