Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами



    Характеристическое уравнение. Если в уравнении (34) коэффициенты постоянные, то оно называется линейным однородным уравнением с постоянными коэффициентами и имеет вид

 (37), 

где все   вещественные числа, у – искомая функция, х – независимая переменная.

  Решение этого уравнения ищется в виде . Это приводит к алгебраическому уравнению степени n   (38), которое называется характеристическим.

  Таким образом, чтобы составить характеристическое уравнение (39) надо в уравнении (37) заменить производные степенями неизвестной величины k, причем степень k должна быть равна порядку соответствующей производной, а сама искомая функция у заменена 1.

I. Если все корни характеристического уравнения  числа вещественные и среди них нет равных между собой, то представляя значение корней в (*) получим n частных линейно независимых решений уравнения (37) в виде   (**)

II. Если все корни характеристического уравнения числа вещественные, но среди них есть равные, то каждому корню  кратности , соответствует  линейно независимых частных решений уравнения (37) .

III. Если среди корней характеристического уравнения имеются комплексные, но не равные между собой, то каждой паре сопряженных комплексных корней  и   соответствует два частных линейно независимых решений уравнения (37) вида и   (***)

Если же среди комплексных корней характеристического уравнения имеются кратные комплексные корни, то корню  кратности  (корень  имеет ту же кратность) соответствует частных линейно независимых решений уравнения (37), которые имеют вид

  В заключение приведем схему решения линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами:

1) Составляем характеристическое уравнение

2) Находим корни характеристического уравнения

3) В зависимости от характера корней выписываем частные линейно независимые решения дифференциального уравнения

4) Подставляя их в формулу  , получаем общее решение дифференциального уравнения (37)

Пример 15. Найти общее решение уравнения

Составим характеристическое уравнение , его можно переписать в виде  и найти его корни , им соответствуют решения

Общее решение имеет вид: .

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения

    Предполагается, что функции   и правая часть уравнения – функция  непрерывны в промежутке (a, b), случаи   не исключаются. Функции   называются коэффициентами уравнения.

1. Линейное неоднородное дифференциальное уравнение имеет вид

  (40)

2. Общее решение линейного неоднородного уравнения находится так:

       а) Найти одно какое-нибудь его частное решение

       б) Найти общее решение соответствующего однородного уравнения

       в) Сложить эти два решения. Сумма их и будет общим решением уравнения (40)

Так, если частное решение неоднородного уравнения есть Y, а общее решение соответствующего однородного есть , то общее решение линейного неоднородного уравнения (40)   (41)

3. Если правая часть уравнения (40) есть сумма двух функций

  (42)

Следует рассматривать два уравнения, у которых левые части такие же, как в (42), нов одном из них правой частью будет функция , а во втором , т.е. рассмотреть уравнение

  (43)

   (44)

Если функции   и - соответственно частные решения уравнений (43) и (44), то их сумма  будет частным решением (42) (это свойство называется положением решений и распространяется на случай, когда правая часть – сумма n решений)

4. Если известно общее решение однородного линейного уравнения, соответствующего заданному неоднородному, то его частное решение Y можно найти с помощью квадратур методом, который указал Лагранж. Этот метод называется методом вариации (изменения) произвольных постоянных.

Получив общее решение соответствующего однородного уравнения , поступают так: полагают, что в этом решении величины   являются не постоянными, а функциями независимой переменной х. Записывают это так:

Для определения функций  составляется система уравнений:

 (45)

Рассмотрим подробно этот метод для линейных дифференциальных неоднородных уравнений второго порядка   (46)

Получив особое решение   (47) соответствующего однородного уравнения поступают так: полагают, что в этом решении величины  и  являются не постоянными, а функциями независимой переменной х и записывают

Для определения функций  и  составляется система (45)

   (48)

Определитель этой системы – определитель Вронского; так как (47) есть общее решение (46), то функции  и  линейно независимы и их определитель не равен 0. Поэтому система (48) имеет всегда решение и притом единственное.

Решая эту систему уравнений относительно  и , получим:

Где определитель Вронского

Из (49) интегрированием находим

Подставляя (50) в (47) получим

Раскрывая скобки, найдем

Сравнивая с (41) замечаем, что первые два слагаемых  в правой части – общее решение однородного уравнения, соответствующего (46), а последние два слагаемых – частное решение неоднородного уравнения (46)

Обозначая эти два слагаемых через Y, получаем формулу частного решения линейного неоднородного уравнения второго порядка

В более компактной форме частное решение линейного неоднородного уравнения второго порядка может быть записано так:

Все величины, входящие в эту формулу известны.

Замечание 9. Следует иметь в виду, что система (48) так же, как и формула (51), имеет место тогда, когда коэффициент при старшей производной равен единице. Функция  есть правая часть уравнения при этом предположении.

  Метод вариации произвольных постоянных – универсальный. Он позволяет при помощи квадратур определить частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения (34), если известно общее решение соответствующего ему однородного уравнения.

Пример 16. Проинтегрировать уравнение

Корни характеристического уравнения  комплексные сопряженные , следовательно, общее решение однородного уравнения есть

Общее решение неоднородного уравнения ищем в виде , так как для данного примера , составляем систему

Из этой системы найдем функции  и

Подставив найденные значения  и , получим общее решение данного дифференциального уравнения:


Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 161; ЗАКАЗАТЬ РАБОТУ