Однородные и квазиоднородные уравнения
Уравнение вида называется однородным, если и однородные функции одного измерения (порядка).
Опр.3. Функция называется однородной измерения (порядка) m, если .
Решение такого уравнения проводятся путем введения новой переменной => , , с помощью которой уравнение превращается в уравнение с разделяющимися переменными.
Замечание 3. Дифференциальные уравнение вида (6) в случае приводится к однородному с помощью замены переменных , где m,n находятся из системы где (m,n) – точка пересечения прямых и . Поскольку здесь , то уравнение (6) преобразуется к виду относительно функции .
Смысл этих замен состоит в избавлении от постоянных слагаемых в числителе и знаменателе аргумента функции .
Если в уравнении (6) , и следовательно , то оно примет вид . Подстановкой это уравнение преобразуется к уравнению с разделяющимися переменными.
Пример 4.
Убеждаемся, что это уравнение однородное, производя подстановку , разделяем переменные: . Интегрируем , производим обратную замену ⇒ - общее решение (интеграл) данного ОДУ, особых решений нет.
Опр.4. Обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка называют квазиоднородным, если для всех 𝜆 > 0 справедливо равенство где .
Заменой квазиоднородное ОДУ можно преобразовать к ОДУ с разделяющимися переменными. Докажем справедливость этого утверждения. Получая в (7) , имеем , или . Учитывая это представление и проводя замену , запишем . Отсюда и следует ОДУ с разделяющимися переменными .
|
|
Некоторые ОДУ первого порядка можно привести к однородным заменой , где m – число, подлежащее определению.
Например, ОДУ после замены принимает следующий вид: . Оно будет однородным в случае равенства степеней всех его членов: при . Эти равенства справедливы, поэтому замена приводит к однородному ОДУ вида .
Решая конкретные уравнения при помощи замен вида , , следует обращать внимание на знаки переменных. Так, выражение при t < 0 и иррациональном m не определено.
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Уравнение вида (8) называется линейным ( у и у ‘ входят в первых степенях, не перемножаясь между собой).
Если , то это уравнение называется линейным неоднородным, а если - линейным однородным.
Общее решение однородного уравнения легко получается разделением переменных; разделяя переменные в уравнении , находим последовательно
, или, наконец, , где С – произвольная постоянная.
Общее решение неоднородного линейного уравнения можно найти исходя из общего решения соответствующего однородного уравнения по методу Лагранжа,
|
|
(Жозеф Луи Лагранж (1736-1813) родился в Турине в итало-французской семье. 19 лет от роду он стал профессором математики артиллерийской школы в Турине. Создатель вариационного исчисления. Наиболее значительный труд «Аналитическая механика»)
варьируя произвольную постоянную, т.е. полагая , где – некоторая, подлежащая определению, дифференцируемая функция от х. Для нахождения подставляем у в исходное уравнение, что приводит к уравнению , отсюда , где С – произвольная постоянная.
Тогда искомое общее решение неоднородного уравнения будет иметь вид .
Линейные уравнения первого порядка можно интегрировать также методом Бернулли, который заключается в следующем.
Полагая , где u, v – две неизвестные функции, преобразуем исходное уравнение к виду или .
Пользуясь тем. Что одна из неизвестных функций (например v) может быть выбрана совершенно произвольно (поскольку лишь произведение должно удовлетворять исходному уравнению) принимают за v любое частное решение уравнения (например, ), обращающее, следовательно, в нуль коэффициент при u в последнем уравнении.
Предыдущее уравнение приведется тогда к уравнению или , из которого находим u: . Умножая u на v, находим для решения исходного уравнения прежнее выражение .
|
|
Замечание 4. На практике поступают следующим образом: вводят подстановку (9). Эта подстановка (9) приводит уравнение (8) к уравнению с разделяющимися переменными.
Пример 5. Решить дифференциальное уравнение .
Значит, делаем подстановку +
, а сокращая на и разделяя переменные . Возвращаясь к подстановке .
Другой способ (метод Лагранжа)
Ищем решение соответствующего однородного уравнения
делим на y
=> интегрируя, получаем
=> ( обозначим вновь через С)
Ищем решение исходного неоднородного уравнения в виде , где - неизвестная функция. Подставляя в исходное уравнение
Сокращая на , , подставляя это значение в (*), получаем .
Уравнение вида называется уравнением Бернулли, так как (при уравнение является линейным, а при - уравнение с разделяющимися переменными).
После умножения его обеих частей на и подстановки , где z – новая искомая функция, оно приводится к линейному.
Преобразование уравнения Бернулли в линейное будем проводить в такой последовательности:
1) Умножим обе части уравнения на
2) Введем подстановку . Обе части этого равенства продифференцируем:
|
|
3) Полученное уравнение проинтегрируем как линейное с помощью подстановки
4) Возвращаемся к искомой функции, заменяя z на .
Пример 6.
Умножим обе части на
Делаем подстановку
( делим на 2 )
. См. предыдущий пример
Общий интеграл . Возвращаясь к искомой функции:
Замечание 5. На практике при решении уравнений Бернулли их не сводят к линейным, а интегрируют подстановкой или методом Лагранжа (метод вариации произвольной постоянной).
Уравнение Риккати по имени итальянского математика и инженера Я.Ф.Риккати (1676-1754) называют ОДУ вида (*), где – функции, непрерывные в некотором интервале изменения х. Это ОДУ содержит в себе частные случаи уже рассмотренных ранее уравнений: если , то (*) – линейное неоднородное уравнение ОДУ, а если - уравнение Бернулли с .
К сожалению, решение уравнения Риккати в общем случае не удается свести к операции интегрирования. Однако, если известно одно частное решение ОДУ (*), то его общее решение можно найти при помощи двух последовательных операций интегрирования.
Действительно, пусть - частное решение (*), выполнив подстановку получим
Так как - решение ОДУ (*), то окончательно имеем
Это уравнение Бернулли с . Заменой его можно свести к линейному неоднородному ОДУ, для нахождения общего решения которого достаточно выполнить последовательно две операции интегрирования.
Пример 7. Уравнение Риккати
Имеет частное решение . Замена приводит его к уравнению Бернулли Риккати . Положим ,тогда можно записать
Приравняв к нулю коэффициенты при u, получим ОДУ , имеющее частное решение . Теперь ОДУ для нахождения принимает вид
Разделяя переменные и интегрируя, получаем с учетом потерянного решения
и , где - первообразная функции .
В итоге исходное уравнение Риккати имеет решения и .
Замечание 6. Особых решений уравнение Риккати не имеет.
Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 2760; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!