Системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами



а) Нормальной системой дифференциальных уравнений называется система уравнений вида:

В этой системе уравнений неизвестными являются n функций , а независимой переменной – .

Особенности нормальной системы дифференциальных уравнений:

1) Все входящие в систему уравнения являются уравнениями первого порядка

2) Все уравнения системы разрешены относительно производных искомых функций

Если нормальная система уравнений (60) линейна, а коэффициенты при неизвестных функциях постоянны, то она имеет вид:

Все искомые функции  входят в систему (61) в первой степени, а функции  - функции независимой переменной , по которой вычислены производные.

  Если все эти функции равны нулю, то система (61) называется однородной, а если хотя бы одна из них не равна нулю – неоднородной.

  Число произвольных постоянных, входящих в общее решение нормальной системы уравнений, равно числу неизвестных функций, входящих в систему. Произвольные постоянные определяются из начальных или краевых условий.

  Способ интегрирования нормальных систем линейных уравнений с постоянными коэффициентами покажем на примере однородной системы из трех уравнений.

Пример 19. Найти общее решение системы

  (A)

Решение: Неизвестными функциями являются , а независимой переменной – .

Приведем решение этой системы к решению одного уравнения, порядок которого равен числу уравнений, входящих в систему.

Для этого любое из уравнений системы продифференцируем по  и заменим в полученном уравнении производные  и  их выражениями из системы.

Поступая так, например, с первым уравнением, получим .

Заменим в этом уравнении производные , стоящие в правой части, их выражениями из второго и третьего уравнений заданной системы и получим уравнение

 , откуда после приведения подобных членов в правой части найдем   (B)

Это уравнение опять дифференцируем по  и получим   

Снова заменим в правой части производные  и   их выражениями из заданной системы и получим уравнение , которое после приведения подобных членов в правой части запишется так:  (С).

Рассмотрим систему уравнений, состоящую из первого уравнения заданной системы, т.е. уравнения, обе части которого мы дифференцировали, и уравнений (B) и (С)

 (D)

Чтобы прийти к уравнению, содержащему только одну неизвестную функцию, из первых двух уравнений системы (D) определим функции  и . Из этих уравнений следует:

Решая их относительно  и , получим   (E)

Подставляя эти значения  и  в третье уравнение системы (D), найдем

После упрощений в правой части получаем   (F)

Уравнение (F) – линейное однородное уравнение третьего порядка с постоянными коэффициентами. Перепишем его так   (G) и найдем его общее решение по известным правилам.

Составляем характеристическое уравнение: .

Корнями этого уравнения являются

Частными решениями уравнения (G) будут функции: , а его общим решением .

Чтобы определить две остальные неизвестные функции  и , воспользуемся выражением (Е). После подстановки в (Е) выражений  и   получим:

 


Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 262; ЗАКАЗАТЬ РАБОТУ