Уравнения в полных дифференциалах



Постановка задачи. Найти интегральные кривые дифференциального уравнения

Алгоритм решения.

1. Если в некоторой области  имеют непрерывные частные производные и выполнено условие

то  - дифференциал некоторой функции . Тогда уравнение (86) называется уравнением в полных дифференциалах и может быть записано в виде

где  - дважды непрерывно дифференцируемая неизвестная функция.

Из (86’) следует, что интегральные кривые определяются уравнением  при всех возможных С.

Для отыскания С заметим, что

2. Интегрируя первое равенство в (87) по х, получим

где - неизвестная функция, которую еще предстоит найти.

3. Дифференцируя  по у, имеем

Используя второе равенство в (87), получим уравнение

4. Находим  и затем .

Ответ. Интегральные кривые определяются уравнением  при всевозможных значениях С.

Пример 26. Найти интегральные кривые дифференциального уравнения

Решение.

1. Преобразуем уравнение (88):

В данном случае

Эти функции непрерывно дифференцируемы в области .

Кроме того,

Поэтому  - дифференциал некоторой функции  в любой односвязной области , не содержащей точку . Следовательно, уравнение (88) является уравнением в полных дифференциалах и может быть записано в виде

При этом

2. Интегрируя первое равенство в (89) по х, получим, что при

где  - неизвестная функция, которую еще предстоит найти.

3. Дифференцируя  по у, имеем

Используя второе равенство в (87), получим

После преобразования имеем

4. Отсюда

и, следовательно

Ответ. Интегральные кривые в области или в области  определяются уравнением

при всевозможных значениях С.

Условия задач. Найти интегральные кривые дифференциальных уравнений.

1.                           Ответ:

2.                                                                          Ответ:

12.21. Уравнения вида

Постановка задачи. Найти общее решение дифференциального уравнения

Алгоритм решения.

1. Полагая , получим дифференциальной уравнение первого порядка

2. Определяя тип этого уравнения и применяя соответствующий метод решения, находим   где  - произвольная постоянная.

3. Так как , имеем

Последовательно интегрируя  раз (при каждом интегрировании не забывая о произвольной постоянной), получим ответ

 – произвольный постоянные.

Пример 27. Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение.

1. поскольку дифференциальное уравнение не содержит у, то полагая , имеем . Получаем дифференциальное уравнение первого порядка

2. Уравнение

линейное относительно  и . Решая его, например, методом вариации произвольной постоянной, находим

3. Так как , имеем

Интегрируя, получим общее решение .

Ответ. .

Условия задач. Найти общие решения дифференциальных уравнений.

1. .                                                 Ответ:

2.                                                    Ответ:

12.22. Уравнения вида

Постановка задачи. Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения

с начальными условиями

Алгоритм решения.

1. Поскольку дифференциальное уравнение не содержит явно независимой переменной х, полагаем

где  - новая неизвестная функция. Тогда по формуле для произведения сложной функции имеем

Получим уравнение первого порядка относительно

2. Определяя тип этого уравнения и применяя соответствующий метод решения, находим , где С – произвольная постоянная.

3. Используя начальные условия (оба), находим .

4. Подставляя , получаем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными

Разделяя переменные в области, где , получаем

и, интегрируя, находим .

Проверяем, не является ли решение  особым решением исходного уравнения, удовлетворяющим начальным условиям.

5. Используем начальные условия для нахождения второй постоянной  (значение  уже найдено в п.3) и получаем решение задачи Коши.

Ответ записываем в виде   или .

Пример 28. Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения

с начальными условиями .

Решение.

1. Поскольку дифференциальное уравнение не содержит явно независимой переменной х, полагаем

где  – новая неизвестная функция. Тогда по формуле для производной сложной функции имеем

Получим уравнение первого порядка относительно

2. Разделяя переменные и интегрируя, находим

т.е.

(знак минус мы выбрали из начального условия ).

3. Из начальных условий (обоих) имеем   при . Отсюда, . Учитывая, что в силу первого начального условия  и, следовательно, , получаем

4. Разделяя переменные и интегрируя, находим

5. Из начального условия  получим . Следовательно,

(Знак минус мы выбрали из начального условия .)

Ответ.

Условия задач. Найти решения задач Коши для дифференциальных уравнений

1.   Ответ: 

2. Ответ:


Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 160; ЗАКАЗАТЬ РАБОТУ