Линейные уравнения первого порядка
Постановка задачи. Решить задачу Коши для уравнения
с начальным условием (70’).
Алгоритм решения.
1-й способ.
1. Запишем соответствующее однородное линейное уравнение:
Это уравнение в разделяющимися переменными.
2. Разделяя переменные и интегрируя, получим общее решение однородного уравнения (71)
3. Применяем метод вариации произвольной постоянной:
а) ищем решение неоднородного уравнения (70) в виде (72), считая С неизвестной функцией х, т.е. полагая .
б) подставляем в уравнение (70) и , определяемые из соотношения (72), где . Из полученного дифференциального уравнения определяем функцию .
4. Таким образом, общее решение неоднородного уравнения (70) получаем в виде
Здесь содержит произвольную постоянную .
5. используя начальные условия (70’), находим значение и получаем решение поставленной задачи Коши.
Записываем ответ в виде .
2-й способ.
1. Ищем решение уравнения (70) в виде
где и - неизвестные функции х.
2. Уравнение (70) принимает вид
3. Поскольку теперь мы имеем две неизвестные функции, а уравнение, которому они должны удовлетворять, только одно, то еще одно уравнение мы можем принять произвольно, лишь бы оно не сужало множество решений у.
Пусть одна из функций (например, ) удовлетворяет уравнению
Тогда уравнение (74) примет вид
Решая уравнение (75) (с разделяющимися переменными), находим , не равное тождественно нулю, чтобы не сужать множество решений у.
|
|
4. Подставляем в уравнение (76) и решаем его относительно .
5. Записываем общее решение уравнения в виде.
6. используя начальные условия (70’), получаем решение поставленной задачи Коши.
Записываем ответ в виде .
Пример 24. Найти решение задачи Коши для уравнения
с начальным условием .
Решение.
1-й способ.
1. Записываем соответствующее однородное уравнение
Это уравнение с разделяющимися переменными.
2. разделяя переменные и интегрируя, получаем общее решение однородного уравнения
3. Применяем метод вариации произвольной постоянной:
а) ищем решение неоднородного уравнения (77) в виде
где - неизвестная функция х;
б) подставляя в уравнение (77)
получаем дифференциальное уравнение относительно
Это уравнение с разделяющимися переменными.
Разделяя переменные
и интегрируя, получаем
где - произвольная постоянная.
4. Таким образом, общее решение неоднородного уравнения (77) имеет вид
5. Используя начальное условие , получаем
находим и подставляем в общее решение (78).
Ответ. .
2-й способ.
1. ищем решение уравнения (77) в виде
где и - неизвестные функции х.
2. Уравнение (77) принимает вид
3. Поскольку теперь мы имеем две неизвестные функции, а уравнение, которому они должны удовлетворять, только одно, то еще одно уравнение мы можем принять произвольно, лишь бы оно не сужало множество решений у.
|
|
Пусть одна из функций (например, ) удовлетворяет уравнению
Тогда уравнение (79) принимает вид
Решая уравнение (80) (с разделяющимися переменными), находим
где А – произвольная постоянная ( , чтобы не сужать множество решений).
4. Подставляем в уравнение (81) и решаем его относительно :
где В – произвольная постоянная.
5. Записываем общее решение уравнения (77) в виде
где - произвольная постоянная.
6. Используя начальное условие , находим .
Ответ. .
Условия задач. Найти решения задач Коши для дифференциальных уравнений.
1. . Ответ: .
2. Ответ:
Уравнение Бернулли
Постановка задачи. Найти решение задачи Коши для уравнения Бернулли
с начальным условием (82’)
Алгоритм решения.
1. С помощью подстановки
уравнение приводится к линейному
где и .
2. Решаем линейное уравнение (83) и делаем замену .
3. Используя начальное условие (82’), находим решение поставленной задачи Коши.
Записываем ответ в виде .
Замечание 14. При решении уравнения Бернулли можно не приводить его к линейному, а искать решение в виде или применять метод вариации произвольной постоянной.
|
|
Пример 25. Найти решение задачи Коши
с начальным условием .
Решение.
Преобразовав уравнение к виду
убеждаемся, что это уравнение Бернулли с .
1. С помощью подстановки
уравнение (84) приводится к линейному
2. Решаем уравнение (85) методом вариации произвольной постоянной:
а) решаем однородное уравнение
получаем ;
б) ищем решение неоднородного уравнения в виде
в) подставляя в уравнение (85)
получаем уравнение с разделяющимися переменными
Разделяя переменные и интегрируя, получаем
Таким образом, общее решение уравнения (85) имеет вид
или, после замены ,
3.Используя начальное условие :
получаем .
Ответ.
Условия задач. Найти решения задач Коши для дифференциальных уравнений.
1. Ответ:
2. Ответ:
Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 692; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!