Линейные уравнения первого порядка



Постановка задачи. Решить задачу Коши для уравнения

с начальным условием   (70’).

Алгоритм решения. 

1-й способ.

1. Запишем соответствующее однородное линейное уравнение:

Это уравнение в разделяющимися переменными.

2. Разделяя переменные и интегрируя, получим общее решение однородного уравнения (71)

3. Применяем метод вариации произвольной постоянной:

а) ищем решение неоднородного уравнения (70) в виде (72), считая С неизвестной функцией х, т.е. полагая .

б) подставляем в уравнение (70)  и , определяемые из соотношения (72), где . Из полученного дифференциального уравнения определяем функцию .

4. Таким образом, общее решение неоднородного уравнения (70) получаем в виде

Здесь  содержит произвольную постоянную .

5. используя начальные условия (70’), находим значение  и получаем решение поставленной задачи Коши.

Записываем ответ в виде .

2-й способ.

1. Ищем решение уравнения (70) в виде

где  и  - неизвестные функции х.

2. Уравнение (70) принимает вид

3. Поскольку теперь мы имеем две неизвестные функции, а уравнение, которому они должны удовлетворять, только одно, то еще одно уравнение мы можем принять произвольно, лишь бы оно не сужало множество решений у.

Пусть одна из функций (например,  ) удовлетворяет уравнению

Тогда уравнение (74) примет вид

Решая уравнение (75) (с разделяющимися переменными), находим , не равное тождественно нулю, чтобы не сужать множество решений у.

4. Подставляем  в уравнение (76) и решаем его относительно .

5. Записываем общее решение уравнения в виде.

6. используя начальные условия (70’), получаем решение поставленной задачи Коши.

Записываем ответ в виде .

Пример 24. Найти решение задачи Коши для уравнения

с начальным условием .

Решение. 

1-й способ.

1. Записываем соответствующее однородное уравнение

Это уравнение с разделяющимися переменными.

2. разделяя переменные и интегрируя, получаем общее решение однородного уравнения

3. Применяем метод вариации произвольной постоянной:

а) ищем решение неоднородного уравнения (77) в виде

где  - неизвестная функция х;

б) подставляя в уравнение (77)

получаем дифференциальное уравнение относительно

Это уравнение с разделяющимися переменными.

Разделяя переменные

и интегрируя, получаем

где  - произвольная постоянная.

4. Таким образом, общее решение неоднородного уравнения (77) имеет вид

5. Используя начальное условие , получаем

находим  и подставляем в общее решение (78).

Ответ. .

2-й способ.

1. ищем решение уравнения (77) в виде

где  и  - неизвестные функции х.

2. Уравнение (77) принимает вид

3. Поскольку теперь мы имеем две неизвестные функции, а уравнение, которому они должны удовлетворять, только одно, то еще одно уравнение мы можем принять произвольно, лишь бы оно не сужало множество решений у.

Пусть одна из функций (например,  ) удовлетворяет уравнению

Тогда уравнение (79) принимает вид

Решая уравнение (80) (с разделяющимися переменными), находим

где А – произвольная постоянная ( , чтобы не сужать множество решений).

4. Подставляем  в уравнение (81) и решаем его относительно :

где В – произвольная постоянная.

5. Записываем общее решение уравнения (77) в виде

где   - произвольная постоянная.

6. Используя начальное условие , находим .

Ответ. .

Условия задач. Найти решения задач Коши для дифференциальных уравнений.

1. .                            Ответ: .

2.                             Ответ:

Уравнение Бернулли

Постановка задачи. Найти решение задачи Коши для уравнения Бернулли

с начальным условием   (82’)

Алгоритм решения.

1. С помощью подстановки

уравнение приводится к линейному

где  и .

2. Решаем линейное уравнение (83) и делаем замену .

3. Используя начальное условие (82’), находим решение поставленной задачи Коши.

Записываем ответ в виде .

Замечание 14. При решении уравнения Бернулли можно не приводить его к линейному, а искать решение в виде  или применять метод вариации произвольной постоянной.

Пример 25. Найти решение задачи Коши

с начальным условием .

Решение.

Преобразовав уравнение к виду

убеждаемся, что это уравнение Бернулли с .

1. С помощью подстановки

уравнение (84) приводится к линейному

2. Решаем уравнение (85) методом вариации произвольной постоянной:

а) решаем однородное уравнение

получаем ;

б) ищем решение неоднородного уравнения в виде

в) подставляя в уравнение (85)

получаем уравнение с разделяющимися переменными

Разделяя переменные и интегрируя, получаем

Таким образом, общее решение уравнения (85) имеет вид

или, после замены ,

3.Используя начальное условие :

 

получаем .

Ответ.  

Условия задач. Найти решения задач Коши для дифференциальных уравнений.

1.                               Ответ:

2.   Ответ:


Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 234; ЗАКАЗАТЬ РАБОТУ