Эффектом Доплера называют изменение частоты колебаний, воспринимаемых приемником при движении приемника и источника относительно друг друга. 9 страница
3. Трофимова Т.И. Курс физики. – М.: Высшая школа, 1990. – 478 с. – С. 21 - 3 1.
4. Храмов Ю.А. Биография физики: Хронологический справочник. – К.: Техника, 1983. – 344 с. – С. 19; 86 - 88.
ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
План
1. Момент силы.
2. Момент импульса.
3. Основное уравнение динамики вращательного движения.
4. Закон сохранения момента импульса.
5. Абсолютно твердое тело.
6. Кинематика движения твердого тела.
7. Момент импульса вращающегося твердого тела с закрепленной осью вращения.
8. Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела с закрепленной осью вращения.
9. Момент инерции твердого тела.
10. Примеры вычисления моментов инерции.
11. Теорема Гюйгенса-Штейнера.
12. Кинетическая энергия вращательного движения.
13. Работа при вращательном движении.
14. Аналогия между поступательным и вращательным движением.
15. Гироскоп и его свойства.
16. Примеры применения и решения задач.
При вращательном движении абсолютно твёрдого тела его точки описывают окружности, расположенные в параллельных плоскостях. Центры всех окружностей лежат при этом на одной прямой, перпендикулярной к плоскостям окружностей и называемой осью вращения. Ось вращения может располагаться внутри тела и за его пределами. Ось вращения в данной системе отсчёта может быть как подвижной, так и неподвижной. Например, в системе отсчёта, связанной с Землёй, ось вращения ротора генератора на электростанции неподвижна.
|
|
|
Из истории науки. В ІІІ веке до н.э. знаменитый механик Архимед (287-212 гг. до н.э.), разрабатывая научные основы статики, ввел понятия о центре тяжести и моменте сил относительно прямой и плоскости, определили центр тяжести треугольника, дал строгую теорию рычага, сформулировал правило сложения параллельных сил и т.д.
Во ІІ веке до н.э. Герон Александрийский (годы жизни неизвестны) дал детальное описание рычага, ворота, клина, винта и блока, согласно которому выигрыш в силе, полученный при помощи этих механизмов, сопровождается потерей во времени. Герону был известен и параллелограмм сил.
Итальянский математик, механик, астроном и философ, друг и покровитель Г. Галилея Гвидобаальдо дель Моонте (1545-1607) в 1577 году издал «Mechanicorum liber» – теорию простых машин: рычага, ворота, блоков и полиспастов, основанную на элементарной теории моментов. Здесь же приводится вывод условий равновесия рычага и блока в виде равенства моментов сил, основанный на начале возможных перемещений. Таким образом, он ввел понятие «момента» в современном смысле.
В 1687 году в книге «Проект новой механики» французский механик и математик, член Парижской АН (1688) П. Вариньон (1654-1722), дал чёткую формулировку закона параллелограмма сил, развил понятие момента сил и вывел, так называемую, теорему Вавриньона. В 1725 г. дал систематическое изложение учения о сложении и разложении сил, о моментах сил и о правилах оперирования ими.
|
|
|
В 1678 году Х. Гюйгенс (1629-1695), создавая теорию физического маятника, ввел понятие момента импульса.
В 1746 году Л. Эйлер (1707-1783) и Д. Бернулли (1700-1782) установили закон сохранения момента количества движения (в современной терминологии – закон сохранения момента импульса).
В 1765 году вышла «Теория движения твердых тел» Л. Эйлера, в которой трактовалась механика твердых тел. В этой работе Л. Эйлером введено в науку понятие момента инерции твердого тела, хотя уже Х. Гюйгенс раньше пользовался выражением того же рода, не давая ему особого названия. Л. Эйлер написал сочинение, где решает дифференциальные уравнения вращения твердого тела, которые носят название Эйлеровых уравнений вращения твердого тела, разработал кинематику и динамику твёрдого тела и дал уравнения его вращения вокруг неподвижной точки, положив начало теории гироскопов.
1 Момент силы
Причиной изменения поступательного движения является сила, а вращательного движения – момент силы.
|
|
|
Момент силы – физическая величина, численно равная векторному произведению радиус-вектора точки приложения силы и вектора силы:
.
Модуль вектора момента силы равен: 
, где 
– плечо силы – кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы (рис. 6.1). Следовательно, момент силы равен произведению силы на плечо:
.
Момент силы характеризует вращательное действие силы. Если момент силы стремится вращать тело по часовой стрелке, то он считается положительным, в противном случае отрицательным. Направление вектора момента силы определяется по правилу правого винта (рис. 6.2).
2 Момент импульса
Моментом импульса (количества движения) называется векторное произведение радиус-вектора на импульс:
.
Модуль вектора момента импульса равен: 
, где , где d – плечо импульса – кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия импульса (рис. 6.4). Следовательно, модуль момента импульса равен произведению импульса на плечо:
.
 |
Момент импульса характеризует количество движения, «запасенное» во вращательном движении. Направление вектора момента импульса определяется по правилу правого винта (рис. 6.5).
3 Основное уравнение динамики вращательного движения
|
|
|
Найдем скорость изменения момента импульса:
.
Таким образом, получаем основное уравнение динамики вращательного движения:
–
первая производная момента импульса по времени равна моменту силы.
Основное уравнение динамики вращательного движения аналогично ІІ закону Ньютона: 
для поступательного движения.
4 Закон сохранения момента импульса
Момент силы и момент импульса являются аддитивными величинами, т.е. для системы тел полный момент сил равен геометрической сумме моментов всех сил, действующих на тела системы:
.
Полный момент импульса равен геометрической сумме моментов импульсов всех тел механической системы:
.
Поэтому основное уравнение динамики вращательного движения запишется в виде:
.
Если система замкнутая, то для внешних сил результирующий момент равен нулю: 
, тогда получается, что производная от суммарного момента импульса замкнутой системы тел по времени равна нулю:
.
Следовательно, будет выполняться закон сохранения момента импульса:
–
суммарный момент импульса замкнутой системы тел остается постоянным, т.е. не изменяется с течением времени.
При решении задач удобнее записывать закон сохранения момента импульса в форме:
,
в замкнутой механической системе геометрическая сумма моментов импульсов тел до взаимодействия равна геометрической сумме моментов импульсов тел после взаимодействия.
Закон сохранения момента импульса является фундаментальным физическим законом, т.к. он выполняется как для микроскопических тел, так и для макроскопических.
Закон сохранения момента импульса справедлив для любой замкнутой системы тел. Он выполняется, например, при движении планет по эллиптическим орбитам вокруг Солнца (второй закон Кеплера). Уравнение вращательного движения тела можно записывать не только относительно неподвижной или равномерно движущейся оси, но и относительно оси, движущейся с ускорением. Основное уравнение динамики вращательного движения не изменяет своего вида и в случае ускоренно движущихся осей при условии, что ось вращения проходит через центр массы тела и что ее направление в пространстве остается неизменным. Примером может служить качение тела (обруч, цилиндр, шар) по наклонной плоскости с трением.
5 Абсолютно твердое тело
Абсолютно твердое тело – это физическая модель, вводимая для описания движения твердых тел конечных размеров.
Абсолютно твердое тело – вторая опорная физическая модель механики наряду с материальной точкой. Механика абсолютно твердого тела полностью сводима к механике материальных точек, но имеет собственное содержание (полезные понятия и соотношения, которые могут быть сформулированы в рамках модели абсолютно твердого тела), представляющее большой теоретический и практический интерес. Существует несколько определений.
5.1 Абсолютно твёрдое тело – физическая модель классической механики, которая представляет собой совокупность материальных точек, расстояния между которыми сохраняются в процессе любых движений, совершаемых этим телом. Т.е., абсолютно твердое тело не только не изменяет свою форму, но и сохраняет неизменным распределение массы внутри.
5.2 Абсолютно твёрдое тело – механическая система, обладающая только поступательными и вращательными степенями свободы. «Твёрдость» означает, что тело не может быть деформировано, то есть телу нельзя передать никакой другой энергии, кроме кинетической энергии поступательного или вращательного движения.
5.3 Абсолютно твёрдое тело – тело, взаимное положение любых точек которого не изменяется, в каких бы процессах оно ни участвовало.
Таким образом, положение абсолютно твердого тела полностью определяется, например, положением жестко привязанной к нему декартовой системы координат (обычно ее начало координат делают совпадающим с центром масс твердого тела). В трёхмерном пространстве и в случае отсутствия (других) связей абсолютно твёрдое тело обладает шестью степенями свободы: три поступательных и три вращательных. Исключение составляет двухатомная молекула или, на языке классической механики, твёрдый стержень нулевой толщины. Такая система имеет только две вращательных степени свободы.
Абсолютно твёрдых тел в природе не существует, однако в очень многих случаях, когда деформация тела мала, то ею можно пренебречь. Реальное тело может приближенно рассматриваться как абсолютно твёрдое тело без ущерба для задачи.
6 Кинематика движения твердого тела
6.1 Кинематическим условием абсолютной твердости является теорема о проекции скорости: проекции скоростей двух точек твердого тела на направление, проходящее через эти две точки, равны между собой:
.
Т.е. при движении абсолютно твердое тело не деформируется (рис. 6.6).
Таким образом, теорема о проекции скорости является аналитическим выражением абсолютной твердости.
 |
6.2 При вращательном движении угловая скорость одинакова для всех точек твердого тела (рис. 6.7):
.
Т.к. пути S1, S2, S3, пройденные при вращении каждой точкой тела за равные промежутки времени, разные (рис. 6.6), то линейные скорости точек твердого тела разные, причем:
< 
< 
.
6.3 Движение всех точек твердого тела любой произвольной формы с закрепленной осью вращения является плоским. Совершается плоское движение по окружностям радиусом Ri , лежащим в плоскостях, перпендикулярных оси вращения (рис. 6.8). Для точки Δmi линейная скорость будет равна:
,
векторному произведению радиус-вектора этой точки на вектор угловой скорости, как и для любой точки твердого тела при плоском движении.
7 Момент импульса вращающегося твердого тела с закрепленной осью вращения
Найдем полный момент импульса твердого тела (рис. 6.8):
Таким образом, полный момент импульса твердого тела равен сумме моментов импульсов всех частиц D mi, составляющих тело:
.
8 Основное уравнение динамики вращательного движения
твердого тела с закрепленной осью вращения
Z-составляющая момента импульса твердого тела (рис. 6.8)равна сумме проекций моментов импульсов элементарных масс на ось Z:
,
или произведению угловой скорости на сумму произведений элементарных масс на квадрат радиуса вращения их до оси вращения.
Сумма произведений элементарных масс на квадрат радиуса вращения их до оси вращения называется моментом инерции твердого тела и зависит от распределения массы в твердом теле:
.
Следовательно, Z-составляющая момента импульса с закрепленной осью вращения равна:
.
Тогда, основное уравнение динамики вращательного движения можно записать в другом виде (через момент импульса):
,
– уравнение моментов
или основное уравнение динамики вращательного движения тела с закрепленной осью вращения: Z -составляющая момента сил, действующих на твердое тело при движении с закрепленной осью вращения, равна произведению момента инерции на Z -составляющую углового ускорения.
9 Момент инерции твердого тела
Момент инерции – скалярная физическая величина, мера инертности во вращательном движении вокруг оси, подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении.
Для определения момента инерции твердое тело разбивают на элементарные массы Δmi (рис. 6.9). Тогда, как было показано в п. 8, моментом инерции твердого теланазывается сумма произведений элементарных масс на квадрат расстояния массы от оси вращения:
.
В дифференциальной форме момент инерции равен:
.
Если масса в теле распределена непрерывно, то удобно перейти к интегрированию. Интегрирование выполняется по всему объему, если масса распределена непрерывно.
Если 
, тогда:
.
Окончательно, момент инерции сплошных тел определяется по формуле:
.
В Системе интернациональной момент инерции измеряется в:
.
Большое значение для исследований внутренней структуры планет и их спутников имеют их безразмерные моменты инерции. Безразмерный момент инерции тела радиуса r и массы m равен отношению его момента инерции относительно оси вращения к моменту инерции материальной точки той же массы относительно неподвижной оси вращения, расположенной на расстоянии r, и равному mr2. Эта величина отражает распределение массы по глубине. Одним из методов её измерения у планет и спутников является определение допплеровского смещения радиосигнала, передаваемого АМС (автоматической межпланетной станции), пролетающей около данной планеты или спутника. Для тонкостенной сферы безразмерный момент инерции равен 2/3 (~0,67), для однородного шара – 0,4, и вообще тем меньше, чем большая масса тела сосредоточена у его центра. Например, у Луны безразмерный момент инерции близок к 0,4 (равен 0,391), поэтому предполагают, что она относительно однородна, её плотность с глубиной меняется мало. Безразмерный момент инерции Земли меньше, чем у однородного шара (равен 0,335), что является аргументом в пользу существования у неё плотного ядра.
10 Примеры вычисления моментов инерции
Момент инерции является важной механической характеристикой для расчета и конструирования движущихся механических устройств: центрифуг (в.т.ч. вертикальные центрифуги с одной точкой опоры для отжима белья), сепараторов, молотковых и дисковых дробилок, шаровых мельниц, вентиляторов, конвейеров большой длины, синхронных двигателей большой мощности, роторных экскаваторов, двухроторных дробилок, барабанных сушилок и др., т.е. машин, пуск которых осуществляется под нагрузкой. В рабочем режиме возможна перегрузка и блокировка исполнительного органа (скребковые конвейеры, дробилки, скреперные лебедки, смесители, горные машины).
Важным является расчет момента инерции для действия поршневых насосов и компрессоров, роторных экскаваторов, угольных струг, транспортно-путевых и самоходных машин, строительных кранов и др.
Дата добавления: 2021-05-18; просмотров: 65; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!