Эффектом Доплера называют изменение частоты колебаний, воспринимаемых приемником при движении приемника и источника относительно друг друга. 12 страница

7. Выведите закон сохранения момента импульса. При каких условиях этот закон выполняется? Где мы встречаемся с применением или проявлением закона сохранения момента импульса на практике?

8. Какая физическая модель называется «абсолютно твердым телом»? А как бы Вы дали определение этой физической модели?

9. Чему равен момент импульса вращающегося твердого тела с закрепленной осью вращения? Дайте определение момента инерции твердого тела. Объясните необходимость расчета момента инерции твердых тел в механических и электромеханических устройствах. Выведите самостоятельно формулы для определения момента инерции стержня, шара, кольца, обруча по аналогии с выводом момента инерции диска.

10. Выведите основное уравнение динамики вращательного движения тела с закрепленной осью вращения. проведите аналогию этого уравнения со ІІ законом Ньютона. В чем заключаются их сходство и различия?

11. Сформулируйте теорему Гюйгенса-Штейнера. Самостоятельно составьте и решите задачу на применение в ее решении теоремы Гюйгенса-Штейнера.

12. Чему равна кинетическая энергия вращательного движения? Плоского движения? Вращательно-поступательного движения?

13. Как определяется работа при вращательном движении?

14. Проведите аналогию между законами, описывающими поступательное и вращательное движение.Сделайте вывод об универсальности и симметричности этих законов.

15. Какие механические устройства называются гироскопами?

16. Рассмотрите историю создания гироскопа. Какое свойство гироскопа привлекло внимание инженеров для его использования при ориентации на земле, на воде и под водой, в воздухе?

17. Где используются гироскопические приборы? Будете ли Вы в своей будущей работе их применять? Где и когда именно? Что из теории гироскопов Вам надо знать для будущей профессиональной деятельности?

 

Рекомендованная литература

1. Волькенштейн В.С. Сборник задач по общему курсу физики. – М.: Главная ред. физ.-мат. литературы, 1987. – (Задачи №№ 3.1-3.44).

2. Кудрявцев П.С. Курс истории физики: Учебное пособие для студентов пед. ин-тов по физ. спец. – 2-е изд., испр. и доп. – М.: Просвещение, 1982. – 448 с. – С. 30-35; 60-67; 90-113; 25-135; 157-160.

3. Трофимова Т.И. Курс физики. – М.: Высшая школа, 1990. – 478 с. – С. 31-38.

СТАТИКА. УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ

 

План

1. Предмет статики.

2. Центр тяжести тела.

3. Условия равновесия.

4. Теория рычага Архимеда.

5. Примеры решения задач.

 

 

1 Предмет статики

 

Из истории науки. Ранее всех разделов механики зародилась статика. Основное понятие статики – понятие силы – вначале тесно связывалось с мускульным усилием, вызванным давлением предмета на руку. Примерно к началу IV в. до н.э. уже были известны простейшие законы сложения и уравновешивания сил, приложенных к одной точке вдоль одной и той же прямой.

Статика развивалась в тесной связи со строительным искусством античного мира. Потребности в создании различного рода технических устройств (строительных, военных и т.д.) выдвигали на первый план вопросы статики. Архимед (287-212 гг. до н.э.) – самый знаменитый из всех ученых древности, создав теорию рычага, заложил основы статики.

В работах голландского ученого С. Стевина (1548-1620) получила свое завершение статика древних. Он сформулировал теорему о треугольнике сил, открыл законы сложения сил и разложения силы на две взаимно перпендикулярные составляющие, дал оригинальное доказательство условия равновесия тела на наклонной плоскости, основанное на невозможности вечного двигателя.

Статика (от греч. – неподвижный) – раздел механики, в котором изучаются условия равновесия тел и механических систем под действием приложенных к ним сил и моментов.

 

2 Центр тяжести тела

 

Первым открытием Архимеда в механике было введение понятия центра тяжести, т.е. доказательство того, что в любом теле есть единственная точка, в которой можно сосредоточить его вес, не нарушив равновесного состояния.

Из истории науки. Греческие математики и механики Герон Александрийский (время жизни отнесено к 10-75 гг. первого века н.э. на том основании, что он приводит в качестве примера лунное затмение 13 марта 62 г. н.э.) и Папп Александрийский (года жизни примерно: первая половина ІІІ в. н.э., поскольку 18 октября 320 г. н.э. он наблюдал солнечное затмение, о чем написал в своем комментарии к «Альмагесту») приводят со ссылкой на Архимеда доказательство существования центра тяжести. Герон предваряет теорему фразой, относящейся к рассмотрению Архимедом идеализированных «физико-математических» тел (метод абстракции). Герон пишет: «Никто не отрицает, что о наклонении и отклонении в действительности говорят только о телах. Если же мы говорим о плоских или телесных (объемных) фигурах, что некоторая точка является их центром поворота и центром тяжести, то это достаточно разъяснено Архимедом». Эта фраза подтверждает применение метода моделирования – новшеством, введенным Архимедом в теоретические исследования.

Архимедово определение центра тяжести и теорема о его существовании в пересказе Паппа: «...центром тяжести некоторого тела является некоторая расположенная внутри него точка, обладающая тем свойством, что если за нее мысленно подвесить тяжелое тело, то оно останется в покое и сохранит первоначальное положение».

Архимед решил ряд задач на нахождение центров тяжести различных геометрических фигур: треугольника, параллелограмма, конуса, сегмента параболы.

В современной интерпретации можно встретить несколько определений центра тяжести.

Центр тяжести тела – точка твердого тела, через которую проходит равнодействующая всех сил тяжести, действующих на элементарные массы этого тела при любом его положении в пространстве.

Центром тяжести механической системы называется точка, относительно которой суммарный момент сил тяжести, действующих на все тела системы, равен нулю.

Проще говоря, центр тяжести – это точка, к которой приложена сила тяжести независимо от положения самого тела. Если тело однородное, центр тяжести обычно расположен в геометрическом центре тела. Таким образом, центр тяжести в однородном кубе или однородном шаре совпадает с геометрическим центром этих тел.

Если размеры тела малы по сравнению с радиусом Земли, то можно считать, что силы тяжести всех частиц тела образуют систему параллельных сил. Их равнодействующая называется силой тяжести, а центр этих параллельных сил – центром тяжести тела.

Координаты центра тяжести тела могут быть определены по формулам (рис. 7.1):

, , ,

где  – вес тела x_i, y_i, z_i – координаты элементарной частицы, весом Р _i;.

Формулы для определения координат центра тяжести тела являются точными, строго говоря, лишь при разбиении тело на бесконечное число бесконечно малых элементарных частиц весом Р _i. Если же число частиц, на которые мысленно разбито тело, конечное, то в общем случае эти формулы будут приближенными, так как координаты x_i , y_i , z_i при этом могут быть определены лишь с точностью до размеров частиц. Чем меньше эти частицы, тем меньше будет ошибка, которую мы сделаем при вычислении координат центра тяжести. К точным выражениям можно прийти лишь в результате предельного перехода, когда размер каждой частицы стремится к нулю, а число их неограниченно возрастает. Как известно, такой предел называется определенным интегралом. Поэтому фактическое определение координат центров тяжести тел в общем случае требует замены сумм соответствующими им интегралами и применения методов интегрального исчисления.

Если масса внутри твердого тела или механической системы распределяется неоднородно, то центр тяжести смещается в ту часть, где оно тяжелее.

Центр тяжести тела не всегда даже может находиться внутри самого тела. Так, например, центр тяжести бумеранга находится где-то посередине между оконечностей бумеранга, но вне самого тела бумеранга.

Для крепления грузов положение центра тяжести очень важно. Именно в эту точку приложены силы тяжести и инерционные силы, действующие на груз в процессе движения. Чем выше находится центр тяжести тела или механической системы, тем более оно склонно к опрокидыванию.

Центр тяжести тела совпадает с центром масс.

 

3 Условия равновесия

 

Статику разделяют на геометрическую и аналитическую.

В основе аналитической статики лежит принцип возможных перемещений, дающий общие условия равновесия любой механической системы.

Геометрическая статика основывается на аксиомах, выражающих свойства сил, действующих на материальную частицу и абсолютно твёрдое тело:

1) две силы, действующие на материальную точку, имеют равнодействующую, определяемую по правилу параллелограмма сил;

2) две силы, действующие на материальную точку (или абсолютно твёрдое тело), уравновешиваются только тогда, когда они одинаковы по численной величине и направлены вдоль одной прямой в противоположные стороны;

3) прибавление или вычитание уравновешенных сил не изменяет действия данной системы на твёрдое тело. При этом уравновешенными называются силы, под действием которых свободное твёрдое тело может находиться в покое по отношению к инерциальной системе отсчёта.

Методами геометрической статики изучается статика твёрдого тела. При этом рассматриваются решения двух типов задач:

1) приведение систем сил, действующих на твёрдое тело, к простейшему виду;

2) определение условий равновесия сил, действующих на твёрдое тело.

Определим условия равновесия сил, действующих на твёрдое тело. В общем случае динамика твердого тела описывается двумя уравнениями:

1) ІІ-м законом Ньютона: ;

2) основным уравнением динамики вращательного движения .

Равновесие – это состояние твердого тела, при котором все точки тела в выбранной системе отсчета. Для состояния равновесия ускорение и угловое ускорение равны нулю. Следовательно, уравнения динамики принимают форму условий равновесия:

1 Геометрическая сумма всех сил, действующих на тело в состоянии покоя, равна нулю:

.

2 Алгебраическая сумма моментов всех сил, действующих на тело в состоянии равновесия, равна нулю:

.

Если момент силы вращает тело по часовой стрелке, то его записывают со знаком «+», против часовой стрелки – со знаком «–».

Выделяют три вида равновесия:

1 Устойчивое – это равновесие, при котором тело при малом отклонении от положения равновесия возвращается в это положение.

2 Неустойчивое – это равновесие, при котором тело при малом отклонении от положения равновесия уходит от этого положения.

3 Безразличное – это равновесие, при котором тело при малом отклонении от положения равновесия оказывается в новом положении равновесия.

 

Устойчивое равновесие

Если попытаться вывести тело из состояния устойчивого равновесия, то обязательно возникнет сила, возвращающая его в исходное равновесное состояние (рис. 7.2).

Шарик на дне чаши находится в единственном состоянии устойчивого равновесия. В этом положении линия, соединяющая точку опоры и центр тяжести тела, вертикальна (рис. 7.2-а).

У неваляшки внутреннее устройство таково, что создает смещенный вниз центр тяжести. Поэтому такое положение равновесия является устойчивым: центр тяжести корпуса неваляшки и точка её опоры лежат на вертикали, причем расстояние между центром тяжести и точкой опоры всегда наименьшее (рис. 7.2-б).

Если тело подвешено на нити, то, как не изменяй его положение, оно будет стремиться занять положение устойчивого равновесия, когда линия, соединяющая  центр тяжести тела и точку подвеса, принимает вертикальное положение (рис. 7.2-в). При этом центр тяжести  всегда будет находиться  ниже точки подвеса. Создатели архитектурных сооружений стремятся, чтобы созданные ими конструкции находились в состоянии устойчивого равновесия.

Эйфелева башня в Париже (рис. 7.3), телевышки во всех странах мира имеют расширение при основании и смещенный вниз центр тяжести. Так Александрийская колонна на Дворцовой площади Санкт-Петербурга при её огромной высоте не имеет врытого в землю фундамента, а спокойно стоит на земле. И это состояние устойчивого равновесия объяснимо: смещенный вниз центр тяжести колонны.

 

Безразличное равновесие

И шар, и линейка, подвешенная на гвоздике, находятся в состоянии безразличного равновесия (рис. 7.4).

Лежащий на горизонтальной поверхности цельный однородный или полый шар сам по себе (без воздействия посторонних сил) с места не сдвинется, и расстояние от точки опоры до центра тяжести будет всегда одинаково (рис. 7.4-а).

Линейка, подвешенная на горизонтальной оси вращения в точке, где расположен её центр тяжести, будет висеть в любом положении, в каком её оставили, не стремясь повернуться (рис. 7.4-б).

Неустойчивое равновесие

Если чуть-чуть сдвинуть или отклонить тело, находящееся в состоянии неустойчивого равновесия, то возникает сила, стремящаяся ещё больше отклонить его от равновесного состояния. В качестве примера можно привести шарик, лежащий на выпуклой поверхности (рис. 7.5-а) или неваляшку, поставленную с «ног на голову» (рис. 7.5-б).

Теория рычага Архимеда

Архимед сделал много открытий в математике, гидростатике, заложил основу механики как новой науки. Особый его интерес привлекала задача о рычаге. В сочинении «О рычагах» им были установлены правила сложения и разложения параллельных сил, дано определение понятия центра тяжести системы двух грузов, подвешенных к стержню, и выяснены условия равновесия такой системы. Архимеду же принадлежит открытие основных законов гидростатики. Свои теоретические знания в области механики он применял к различным практическим вопросам строительства и военной техники, конструкции которой, основываясь на рычаге, позволяла перемещать в пространстве тела большого веса при относительно небольших усилиях.

В дальнейшей истории технической культуры механика рассматривалась как наука о простых статических машинах. Ее основой стала теория рычага, изложенная Архимедом в сочинениях «О равновесии плоских тел и центрах тяжести плоских фигур» и не дошедшим до нас «О весах». В основе этой теории лежат следующие постулаты:

v равные тяжести на равных длинах уравновешиваются, на неравных же длинах не уравновешиваются, но перевешивает тяжесть на большей длине;

v если при равновесии тяжестей на каких-нибудь длинах к одной из тяжестей будет что-то прибавлено, то они не будут уравновешиваться, но перевесит та тяжесть, к которой было прибавлено;

v точно так же, если от одной из тяжестей будет отнято что-нибудь, то они не будут уравновешиваться, но перевесит та тяжесть, от которой не было отнято;

v если две величины уравновешиваются на каких-нибудь длинах, то на тех же самых длинах будут уравновешиваться и равные им.

Не подлежит сомнению, что постулаты проверены длительной технической практикой, которая делает их «очевидными». Основываясь на этих постулатах, Архимед формулирует закон рычага и доказывает следующие теоремы:

1 Соизмеримые величины уравновешиваются на длинах, обратно пропорциональных тяжестям.

2 Если величины несоизмеримы, то они точно так же уравновесятся на рычагах, которые обратно пропорциональны этим величинам.

В трактате «Механические проблемы» Архимед описал принципы действия рычага, колодезного журавля с противовесом, равноплечих весов, равноплечих весов – безмен, клещей, топора, кривошипа, вала, колеса, катка, полиспаста – механизма с несколько подвижных и неподвижных блоков, гончарного круга, руля и т.д. Но главной темой трактата является принцип рычага и определение центра тяжести тела. Свои открытия и изобретения он практически применял в различных военных машинах и механизмах (орудиях, поворотных кранах, железных лапах, поднимали вверх нос корабля противника и ставили его вертикально и т.д.) для защиты его города – Сиракуз.

Еще со времен Архимеда главной задачей статики считается установление условий равновесия данной системы сил, сложения сил и представление системы сил, действующих на тело, в простейшем виде.

 

Примеры решения задач

 

Задача 1 . Тело движется по горизонтальной плоскости под действием силы F, направленной под углом α к горизонту. Коэффициент трения между телом и плоскостью равен μ. При каком значении силы F движение будет равномерным?

Решение

1) Изобразив на чертеже к задаче (рис. 7.6) все силы, действующие на тело, записываем уравнение равновесия в векторном виде:

       (1.1)

2) Записываем условие равновесия в проекциях на оси:

По определению силы трения скольжения:

 

Полученное значение силы трения подставляем в уравнение (1.3) и находим значение силы F:

---

Дата добавления: 2021-05-18; просмотров: 62; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!