Эффектом Доплера называют изменение частоты колебаний, воспринимаемых приемником при движении приемника и источника относительно друг друга. 14 страница
.
4 Физический маятник
Физический маятник представляет собой твердое тело, совершающее колебания относительно оси, не совпадающей с центром масс под действием силы тяжести.
Согласно основному уравнению динамики вращательного движения тела с закрепленной осью вращения момент силы тяжести сообщает телу угловое ускорение:
.
По определению момента силы момент силы тяжести равен:
,
где 
– плечо силы тяжести 
.
По определению углового ускорения:
.
Тогда основное уравнение динамики вращательного движения тела с закрепленной осью вращения можно переписать в виде:
.
Для малых колебаний (φ << 1рад) выполняется приближение: 
(рад). Поэтому можно записать:
.
Разделим последнее уравнение на J и сравним с уравнением гармонического осциллятора:
.
Из сравнения видно, что собственная частота колебаний физического маятника равна:
,
где 
– момент инерции маятника относительно оси вращения, a – расстояние от оси вращения до центра масс. Тогда период колебаний физического маятника равен:
.
5 Математический маятник
Математический маятник – физическая модель маятника, в которой материальная точка совершает колебания на длинной тонкой нерастяжимой нити.
Математический маятник – частный случай физического маятника. Для физического маятника период равен:
.
По теореме Штейнера:
,
где Jc – момент инерции материальной точки. Тогда период колебаний математического маятника:
|
|
|
.
Собственная частота колебаний математического маятника будет равна:
.
6 Затухающие колебания
Если к механической колебательной системе не подводится энергия, то при наличии сил трения механическая энергия преобразуется в тепло, и колебания затухают.
Дифференциальное уравнение затухающих колебаний имеет вид:
при F ( t )=0.
Решение этого уравнения ищется в виде:
.
При малых колебаниях β<<ω0, поэтому
.
Тогда общее решение уравнения затухающих колебаний имеет вид:
.
После выделения действительной части получаем частное решение уравнения затухающих колебаний:
,
где 
– закон изменения амплитуды затухающих колебаний (рис. 9.5).
Характеристикой затухающих колебаний является логарифмический декремент затухания, численно равный логарифму отношения двух последующих амплитуд:
.
Энергетической характеристикой затухания является добротность колебательной системы, которая характеризует относительные потери энергии в системе за один период:
,
где W – запасенная энергия,
Δ W – потери энергии за один период.
 |
Добротность колебательной системы можно вычислять по формулам:
,
где Ne – количество колебаний системы за время релаксации.
|
|
|
Время релаксации – время, в течение которого амплитуда колебаний уменьшится в e раз.
7 Вынужденные колебания
Вынужденные колебания – это колебания, происходящие под действием внешней периодической силы.
Уравнение вынужденных колебаний:
.
Координата тела при вынужденных колебаниях отстает по фазе от внешней вынуждающей силы на величину j. Если сила изменится по закону:
,
то координата тела будет изменяться по закону:
.
Это связано с явлениями инерции и вязкости.
Амплитуда вынужденных колебаний и фазовый сдвиг j зависят от частоты колебаний.
Вынужденные колебания могут возникать в самых разнообразных условиях. Например, колебательное движение судна на море. Переменная сила плавучести, действующая на небольшой корабль, и неуравновешенная сила короткозамкнутого ротора (короткозамкнутая обмотка ротора, часто называемая «беличья клетка» из-за внешней схожести конструкции, состоит из медных или алюминиевых стержней, замкнутых накоротко с торцов ротора двумя кольцами) также вызывают колебания с частотой, равной частоте возбуждения. Поэтому следует особо выделять «качку». Дело в том, что вынуждающая сила вызывает при «качке» значительные перемещения, когда ее частота существенно ниже частоты свободных колебаний системы, которые сопровождаются деформациями.
|
|
|
Вибрации кормовой части судна вызываются гидродинамическими силами, которые возникают, когда лопасти гребного винта проходят вблизи обшивки корабля.
Совершенно иной источник возбуждения имеет место в ковшовой турбине. Такая турбина представляет собой хорошо сконструированное водяное колесо с ковшами определенной формы, расположенными по ее ободу; струя воды в направлении касательной к ободу турбины (обычно с очень большой скоростью) воздействует па турбину и приводит ее во вращение, причем каждый ковш испытывает периодические удары.
8 Резонанс
Если поддерживаются колебания с собственной частотой, то они оказываются особенно значительными. Если частота вынуждающей силы равна, или почти равна, собственной частоте системы, то следует ожидать интенсивных колебаний, связанных с резонансом (рис. 9.6).
Резонансом называется явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынужденных колебаний к частоте собственных колебаний системы.
Отличие вынужденных колебаний от вынужденных резонансных колебаний определяется отношением частоты возбуждения к низшей собственной частоте системы. Собственную частоту вынужденных колебаний называют резонансной или характеристической.
|
|
|
Резонансная частота равна:
.
Если коэффициент затухания 
, то резонанс невозможен и спектр колебаний является релаксационным.
Резонанс носит разрушительный характер. Резонансные колебания являются одной из причин поломки лопаток турбомашин, где в установившемся режиме движения каждая лопатка проходит какое-нибудь определенное положение через точно установленные промежутки времени. Если, например, лопасть гидротурбины получает повторяющиеся через определенные интервалы времени импульсы, то в результате резонанса лопасть может сломаться.
Разрушительный характер резонанса делает необходимыми исследования различных механических систем на резонанс, определяя собственную и резонансную частоту зданий, мостов, башен, самолетов. В некоторых реальных сооружениях рассеяние энергии весьма мало, например, в подвесных мостах. В этом случае совсем малая переменная сила может вызвать опасные резонансные колебания. Так, солдатский «шаг на месте» иногда применяется для возбуждения колебаний при испытании мостов новой конструкции; конечно, при этом необходима большая осторожность. Обычно даже небольшой отряд солдат, подходя к мосту, перестает маршировать и начинает идти не в ногу. Если ритм солдатских шагов совпадает с собственной частотой моста, то возможно даже его разрушение. Такой случай в действительности имел место в 1831 г. в Манчестере, когда 60 человек разрушили Браутонский подвесной мост через реку Ирвель. Аналогичный случай имел место в 1868 г., когда в Чатаме (Великобритания) рухнул мост на опорах при прохождении отряда британской морской пехоты. Но наиболее трагическая катастрофа произошла в 1850 г., когда в 300 км от Парижа был разрушен Анжерский подвесной мост батальоном французской пехоты численностью 500 человек. Разрушенный мост увлек людей за собой в ущелье, и погибло 226 человек. В 1906 году из-за резонанса разрушился и так называемый Егитпетский мост в Петербурге.
Позитивный характер явления резонанса используется ввибраторных системах.
9 Автоколебания
Огромный интерес представляет возможность поддерживать колебания незатухающими. Для этого необходимо восполнять потери энергии реальной колебательной системы. Поэтому используются автоколебания – незатухающие колебания, поддерживаемые в диссипативной системе за счет постоянного внешнего источника энергии, причем свойства этих колебаний определяются самой системой.
Автоколебания принципиально отличаются от свободных незатухающих колебаний. Автоколебательная система сама управляет внешними воздействиями, обеспечивая согласованность поступления энергии определенными порциями в определенный момент времени (маятниковые часы). Энергия берется за счет раскручивающейся пружины либо за счет опускания груза.
Механические автоколебательные системы широко распространены в окружающей нас жизни и в технике. Колебания воздуха в духовых инструментах, органных трубах, струны смычковых музыкальных инструментов, голосовые связки при разговоре или пении и т.д. возникают вследствие автоколебаний, поддерживаемых воздушной струей. Автоколебания совершают паровые машины, двигатели внутреннего сгорания, электрические звонки и т.д. Примерами автоколебательных систем являются двигатель внутреннего сгорания, паровые турбины, ламповый или транзисторный генератор.
10 Примеры использования механических колебаний
Пример 1. Маятник Фуко – маятник, используемый для экспериментальной демонстрации суточного вращения Земли.
Впервые публичная демонстрация была осуществлена французским физиком и астрономом Леоном Фуко (1819-1868) в Парижском Пантеоне в 1851 г. Под куполом Пантеона он подвесил металлический шар массой 28 кг с закреплённым на нём остриём на стальной проволоке длиной 67 м. Крепление маятника позволяло ему свободно колебаться во всех направлениях. Под точкой крепления было сделано круговое ограждение диаметром 6 метров, по краю ограждения была насыпана песчаная дорожка таким образом, чтобы маятник в своём движении мог при её пересечении прочерчивать на песке отметки (рис. 9.7). Чтобы избежать бокового толчка при пуске маятника, его отвели в сторону и привязали верёвкой, после чего верёвку пережгли.
 |
Период колебания маятника при такой длине подвеса составлял 16,4 секунд, при каждом колебании отклонение от предыдущего пересечения песчаной дорожки составляло примерно 3 мм, за час плоскость колебаний маятника повернулась более чем на 11о по часовой стрелке, то есть примерно за 32 часа совершила полный оборот и вернулась в прежнее положение.
Маятник Фуко является математическим маятником. Такой маятник, отклонённый от равновесного положения, совершает колебания в плоскости, неподвижной в инерциальной системе отсчёта «связанной» со звёздами, и проявляет, таким образом, свойства гироскопа.
Наблюдатель, находящийся на Земле и вращающийся вместе с нею, находится в неинерциальной (вращающейся) системе отсчёта и будет видеть, что плоскость колебаний маятника медленно поворачивается относительно земной поверхности в сторону, противоположную направлению вращения Земли.
На Северном или Южном полюсе ось вращения Земли лежит в плоскости колебаний маятника (рис. 9.8). Плоскость колебаний маятника Фуко совершает поворот на 360° за звёздные сутки (на 15° за звёздный час). На экваторе ось вращения Земли перпендикулярна плоскости колебаний маятника и плоскость колебаний маятника Фуко неподвижна. В произвольной точке с географической широтой φ угол между осью вращения Земли и плоскостью колебаний маятника равен: 
.
Скорость вращения плоскости колебаний идеального маятника Фуко Ω (в градусах в звёздный час) относительно поверхности Земли составляет
.
Для неидеального маятника Фуко скорость вращения плоскости колебаний зависит и от длины подвеса:
,
где а – амплитуда колебаний груза маятника; 
– длина нити. Поэтому для демонстраций применяют маятники с максимально возможной длиной подвеса.
В ночь с 11 на 12 апреля 1931 года в Ленинграде в Исаакиевском соборе был запущен маятник Фуко. Тогда это назвали триумфом науки над религией.
Однако представители церкви отметили, что этот опыт никак не опровергает догмат существования Бога. Хранитель экспозиции Исаакиевского собора Сергей Окунев прокомментировал это так: «На самом деле, всё было наоборот. Первый опыт Фуко был выполнен с благословения папы Римского для того, чтобы доказать могущество Бога».
Пример 2 – Часовой механизм с анкерным ходом. Примером механической автоколебательной системы может служить часовой механизм с анкерным ходом (рис. 9.9). Ходовое колесо с косыми зубьями жестко скреплено с зубчатым барабаном, через который перекинута цепочка с гирей. На верхнем конце маятника закреплен анкер (якорек) с двумя пластинками из твердого материала, изогнутыми по дуге окружности с центром на оси маятника. В ручных часах гиря заменяется пружиной, а маятник – балансиром – маховичком, скрепленным со спиральной пружиной.
Балансир совершает крутильные колебания вокруг своей оси. Колебательной системой в часах является маятник или балансир. Источником энергии – поднятая вверх гиря или заведенная пружина. Устройством, с помощью которого осуществляется обратная связь, является анкер, позволяющий ходовому колесу повернуться на один зубец за один полупериод.
Взаимодействием анкера с ходовым колесом осуществляется обратная связь. При каждом колебании маятника зубец ходового колеса толкает анкерную вилку в направлении движения маятника, передавая ему некоторую порцию энергии, которая компенсирует потери энергии на трение. Таким образом, потенциальная энергия гири (или закрученной пружины) постепенно, отдельными порциями передается маятнику.
Вопросы и задания для самоконтроля
1. Рассмотрите историю создания теории механических колебаний и составьте хронологическую таблицу ее развития.
2. Выведите дифференциальное уравнение малых колебаний. При каких условиях оно выполняется?
3. Что характеризует коэффициент затухания? В каких единицах измеряется коэффициент затухания?
4. Какие колебания называются свободными гармоническими?
5. Что в физике называется гармоническим осциллятором?
6. Получите уравнение гармонического осциллятора и его частное решение. Как называют частное решение уравнения гармонического осциллятора?
7. Какие характеристики гармонических колебаний Вы знаете? Что они характеризуют и как отражаются в уравнении гармонических колебаний?
8. Как определяются периоды и собственные частоты колебаний пружинного, физического и математического маятников?
9. Какие колебания называются затухающими?
10. Получите уравнение затухающих колебаний. Как зависит амплитуда затухающих колебаний от коэффициента затухания?
11. Раскройте физический смысл логарифмического декремента затухания и добротности колебательной системы.
12. Какие колебания называются вынужденными?
13. Получите уравнение затухающих колебаний и его частное решение.
14. Когда и при каких условиях мы встречаемся с явлением вынужденных колебаний? Какое явление называется резонансом?
15. Какие колебания называют автоколебаниями?
16. Один из элементарных способов решения занимательной задачи П.Л. Капицы об облачности Венеры является измерение длины суток при помощи маятника Фуко.
Текст задачи: «Астрономические наблюдения показывают, что на планете Венера полная облачность, так что «жители» Венеры лишены возможности наблюдать небесные светила. Опишите, каким методом они могли бы точно измерить длину своих суток».
Дата добавления: 2021-05-18; просмотров: 72; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!