Эффектом Доплера называют изменение частоты колебаний, воспринимаемых приемником при движении приемника и источника относительно друг друга. 3 страница
При вращательном движении вводятся угловые величины, аналогичные величинам, характеризующим поступательное движение: угол поворота, угловая скорость, угловое ускорение.
Угол поворота определяется как вектор по правилу правого винта (рис. 2.2). Скалярное значение угла поворота в Системе интернациональной измеряется в радианах: φ = [рад].
Угловая скорость характеризует угол поворота в единицу времени:
.
Различают среднюю и мгновенную угловую скорость. Средняя угловая скорость численно равна отношению полного угла поворота ко времени, в течение которого это вращение произошло:
.
Мгновенная угловая скорость определяется как предел отношения бесконечно малого угла поворота к бесконечно малому промежутку времени, в течение которого это вращение произошло, илиравна первой производной угла поворота по времени:
.
Угловое ускорение численно равно изменению угловой скорости в единицу времени:
.
Различают мгновенное и среднее угловое ускорение.
Среднее угловое ускорение равно отношению изменению угловой скорости ко времени, в течение которого это изменение угловой скорости произошло:
.
Мгновенное угловое ускорение определяется как предел отношения бесконечно малого изменения угловой скорости к бесконечно малому промежутку времени, в течение которого это изменение угловой скорости произошло, т.е. равно первой производной угловой скорости по времени или второй производной угла поворота по времени:
|
|
|
.
2 Взаимосвязь между линейными и угловыми величинами
Взаимосвязь между углом поворота и длиной дуги окружности (рис. 2.2):
, (2.1)
где S –длина дуги, R – радиус кривизны траектории, j – угол поворота [j] = [рад].
Дифференцируем уравнение (2.1) по времени dt: 
.
После интегрирования получим взаимосвязь между линейной и угловой скоростями: 
. (2.2)
Продифференцируем уравнение (2.2) по времени dt: 
.
После интегрирования получим взаимосвязь между тангенциальным и угловым ускорением:
. (2.3)
3 Система кинематических уравнений, описывающих равнопеременное движение по окружности
Угол поворота и угловую скорость можно определить как интегралы:
, 
.
Решение этих уравнений приводит к системе уравнений, описывающих равнопеременное движение по окружности:
.
Для решения задач с использованием данной системы уравнений необходимо использование дополнительных формул.
Пусть N – полное число оборотов, тогда полный угол поворота буде равен:
|
|
|
.
Если T – период вращения (время одного полного оборота), тогда частота вращения n определяется по формуле:
.
А угловая скорость определяется по формулам:
, 
.
4 Система кинематических уравнений, описывающих движение тела, брошенного под углом к горизонту
Из истории науки. Решение задачи на движение тел, брошенных под углом к горизонту (рис. 2.3), стало актуальным задачи, когда в XIV веке в Европе появился порох. Порох был изобретен в Китае в ІХ веке для красочных фейерверков. Тогда китайцы не знали, что стали первыми изобретателями взрывчатки. В 1866 г. шведский химик Альфред Нобель изобрел динамит. Потом он создал другие виды взрывчатого вещества, в том числе гелигинит. Взрывчатку используют как в мирных целях (снесение препятствий и сооружений, строительство шахт и тому подобное), так и против жизни человека. Взрывчатые вещества используются в бомбах, ракетах и других видах оружия. В то же время взрывчатые вещества используются для фейерверков и салютов. Мы все видели на открытии ХХ зимних Олимпийских игр в Турине цветные фейерверки при зажигании олимпийского огня. Красивейшее зрелище представляют собой салюты в честь самого для нас священного праздника – дня Победы.
|
|
|
 |
Леонардо да Винчи (1452-1528) много времени уделял изучению траектории полета стрелы и ядра, что было очень важно для развития военной техники того времени. Он, практически незнающий математики, исследовал зависимость дальности полета от выталкивающей силы взрывчатого вещества. Закончили решение этой задачи Н. Тартальи и Г. Галилей.
Математики и механики Европы того времени начали решать эту задачу о том, как угодить в цель. В XVI веке итальянский математик Н. Тарталья (1499-1557) в трактатах «Новая наука» (1537) и «Проблемы и различные изобретения» (1546) описал траекторию движения снарядов, доказал, что она криволинейна и наибольшая дальность полета достигается при наклоне ствола пушки под углом 45о к горизонту, чем положил начало баллистике.
В 1604-1609 годах г. Падуя, где жил и работал Г. Галилей, принадлежала Венецианской республике, и ученый поддерживал постоянные контакты с венецианским арсеналом. В это время Г. Галилей установил законы движения тела, брошенного под углом к горизонту. Он показал, что движение под углом к горизонту, складывается из равномерного прямолинейного движения, которое имело бы место при отсутствии силы тяжести, и свободного падения, что образует параболическую траекторию. А далее, пользуясь свойствами параболы, Г. Галилей составил «таблицу для стрельбы», имеющую важное практическое значение. Этим самым Г. Галилей положил начало новой науке – баллистике.
|
|
|
Также Г. Галилей доказал утверждение Н. Тартальи о том, что угол 45о отвечает наибольшей дальности полета, и показал, что для углов, дающих в сумме 90о, дальности полета одинаковы (при фиксированной величине скорости).
Рассмотрим траекторию движения тела, брошенного под углом к горизонту (рис. 2.3). Перемещение тела, брошенного под углом к горизонту, можно разложить на два: горизонтальное и вертикальное. Именно поэтому изобразим направление вектора скорости в различных точках траектории и, используя правило параллелограмма, разложим его на составляющие, параллельные осям OX и OY, как это сделал Г. Галилей.
Проекции вектора скорости на оси OX и OY равны:
,
.
Так как относительно оси OX вектор скорости не меняет своего направления, то относительно этой оси тело движется равномерно, т.е. подчиняется законам равномерного движения:
,
.
Так как относительно оси OY вектор скорости изменяется, как и при движении свободного падения, то движение тела относительно оси OY подчиняется законам свободного падения:
,
,
.
Скорость тела в любой момент времени определяется по формуле (рис. 2.3):
.
Угол, под которым тело падает на землю, определяется из соотношения:
.
Полное ускорение определяется теоремой Пифагора (рис. 2.4):
 |
.
5 Примеры решения задач
Задача 1. Мяч бросили со скоростью V 0 под углом α к горизонту. Сколько времени t мяч будет находиться в воздухе? На какую высоту h мяч поднимется? На каком расстоянии S от места бросания мяч упадет?
 |
Решение
1) Рассмотрим перемещение тела, брошенного под углом к горизонту, в горизонтальном и вертикальном направлении. Найдем время полета мяча t. Из чертежа к задаче (рис. 2.5) видно, что координата 
за все время движения не изменилась, т.е.: 
. Следовательно, используя формулу , получим выражение для определения времени движения тела:
2) Определим, на каком расстоянии S от места бросания мяч упадет на землю. Для этого в формулу подставим полученное выражение для времени:
3) Высоты h мяч достигнет через время 
. Тогда:
Задача 2. Тело, брошенное горизонтально, упало на землю через время t на расстоянии S от места бросания. С какой высоты h кинули тело? Определить начальную V 0 и конечную V скорости тела. Какой угол φ составляет траектория тела с горизонтом в точке падения?
Решение
1) Перемещение тела, брошенного горизонтально, разложим на два: горизонтальное и вертикальное (рис. 2.6).
2) Проекция начальной скорости на ось OY равна нулю, т.к. вектор начальной скорости перпендикулярен оси OY: 
Начальная координата Y 1 = h, конечная координата Y 2 = 0. Следовательно:
3) Относительно оси O Х движение равномерное. Поэтому относительно оси O Х:
4) Конечную скорость находят по формуле для определения полной скорости в любой момент времени: 
Тогда: 
4) Из чертежа к задаче (рис. 2.6) видно, что угол φ, который составляет траектория тела с горизонтом в точке падения, будет равен: 
Задача 3. По интегральной зависимости между углом поворота и угловой скоростью и между угловой скоростью и угловым ускорением получить систему уравнений, описывающих равнопеременное движение по окружности. Сравнить полученную систему с системой уравнений, описывающих поступательное равноускоренное движение.
Решение
По определению угловая скорость равна первообразной от углового ускорения: . Проинтегрируем это выражение и получим:
В момент времени 
угловая скорость равна 
– начальному значению. Следовательно, постоянная интегрирования С1 принимает значение начальной угловой скорости: 
.
Тогда получаем зависимость угловой скорости от времени:
.
По определению угол поворота равен первообразной от угловой скорости: . Проинтегрируем это выражение и получим:
В момент времени угол поворота равен 
– начальному значению. Следовательно, постоянная интегрирования С2 принимает значение начального значения угла поворота: 
.
Таким образом, получаем зависимость угла поворота от времени:
.
Окончательно получаем систему уравнений, описывающих равноускоренное движение по окружности:
Сравнивая полученную систему с системой уравнений, описывающих поступательное равноускоренное движение:
,
можно сделать вывод об универсальности системы уравнений для любых видов равноускоренного движения. Т.е. законы, описывающие равноускоренное движение, симметричны.
Вопросы и задания для самоконтроля
1. Рассмотрите историю изучения законов кинематики равноускоренного движения. Составьте схему-последовательность появления основных понятий кинетики.
2. Обоснуйте использование в научных исследованиях метода физического сравнения. Какие сравнения Вы сделали в этой лекции?
3. Почему движение по окружности с постоянной по модулю скоростью некорректно называть равномерным?
4. Какие виды ускорений вводятся для описания движения по окружности? Что они характеризуют?
5. Дайте определение средней и мгновенной угловой скорости.
6. Дайте определение среднего и мгновенного углового ускорения.
7. Какую взаимосвязь между углом поворота и длиной дуги окружности мы используем для вывода взаимосвязи между линейными и угловыми величинами?
8. Диск радиусомR = 10 см вращается вокруг неподвижной оси так, что зависимость угла поворота радиуса диска от времени задается уравнением 
, где В = 1 рад/с, С = 1 рад/с2, D = 1 рад/с3. Определить для точек на ободе диска к концу второй секунды после начала движения: 1) тангенциальное ускорение, 2) нормальное ускорение, 3) полное ускорение.
9. Запишите систему уравнений, описывающую равноускоренное движение по окружности. Получите из нее зависимости: 1) между угловой скоростью, угловым ускорением и углом поворота при равноускоренном и равнозамедленном движении; 2) между начальной и конечной угловой скоростью, временем движения и углом поворота при равноускоренном и равнозамедленном движении.
10. Какие физические величины называются: периодом вращения? частотой вращения? Какая между ними существует взаимосвязь? Как они связаны с угловой скоростью?
11. 
Объясните, какие рассуждения позволяют нам рассматривать сложную траекторию движения тела, брошенного под углом к горизонту, отдельно относительно осей OX и OY .
12. Крепость Ени-Кале (рис. 2.6) построена в XVIII веке в Керчи в районе самого узкого места (4,2 км) между Крымом и Кубанью на берегу Керченского пролива с целью обороны крымского берега. Под каким углом к горизонту должны были вылетать ядра из пушек, чтобы можно было простреливать весь пролив поперек? Начальная скорость ядер достигала 150 м/с.
Рекомендованная литература
1. Волькенштейн В.С. Сборник задач по общему курсу. – М.: Главная ред. физ.-мат. литературы, 1987. – 456 с. – (Задачи №№ 1.26-1.64).
2. Евграфова Н.Н., Каган В.Л. Курс физики. – Изд. 2-е, перераб. и доп. – М.: Высшая школа, 1978. – 512 с. – С. 35-47.
3. Кудрявцев П.С. Курс истории физики: Учебное пособие для студентов пед. ин-тов по физ. спец. – 2-е изд., испр. и доп. – М.: Просвещение, 1982. – 448 с. – С. 44-48; 60-68.
4. Трофимова Т.И. Курс физики. – М.: Высшая школа, 1990. – 478 с. – С. 12-13.
5. Храмов Ю.А. Биография физики: Хронологический справочник. – К.: Техника, 1983. – 344 с. – С. 5-19; 55-77.
Дата добавления: 2021-05-18; просмотров: 65; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!