Эффектом Доплера называют изменение частоты колебаний, воспринимаемых приемником при движении приемника и источника относительно друг друга. 2 страница

Модуль вектора перемещения определяется по формуле:

3 Кинематика

Кинематика – раздел механики, изучающий законы движения тел, не рассматривая причин, вызывающих это движение.

Из истории науки. Одним из самых древних предметов изучения физики является изучение кинематики механического движения. Многие сведения из кинематики были известны еще в глубокой древности. Понятие перемещения было введено Аристотелем (384-322 гг. до н.э.). Он же рассмотрел сложение двух прямолинейных равномерных движений. И хотя основателем кинематики иногда называют Г. Галилея, кинематика, как самостоятельный раздел механики, возникла лишь в XIX веке под влиянием развивающегося машиностроения – станкостроения, судостроения, паровозостроения и т.д., где широко стали применяться различного рода передачи в механизмах.

Основная задача кинематики состоит в том, чтобы, зная закон движения данного тела (или точки), определить все кинематические величины, характеризующие как движение тела в целом, так и движение каждой из его точек в отдельности (траектории, скорости, ускорения и т.п.).

Примерно в XIV в. англичанин У. Гейтсбери (ок.1313 – ок.1372) и француз Н. Орем (1323-1382) ввели понятия скорости, ускорения и рассмотрели задачу на определение пути, пройденного телом при равноускоренном движении. У. Гейтсбери ввел понятия мгновенной скорости и ускорения. В это же время был установлен закон, связывающий путь, пройденный телом, и время.

Законы свободного падения изучал еще Леонардо до Винчи. Принцип равноускоренности свободного падения открыл итальянский физик, механик и астроном Г. Галилей (1564-1642) в 1609-1610 гг., тем самым высказав предположение об ускорении свободного падения как о постоянной величине. Он не определил значение ускорения свободного падения, но установил, что пройденный путь пропорционален квадрату времени движении.

Величина ускорения свободного падения была определена голландским физиком, механиком и математиком Х. Гюйгенсом (1629-1695) в 1678 году. Он опытным путем определил величину ускорения силы тяжести для Парижа, равную 979,9 см/с².

Французский математик Николе Орем впервые дал графическое изображение движения, введя метод двумерных координат. А в 1346 году это же сделал француз Дж. де Казалис (Дж. де Казале, ум. ок. 1355 г.). С этого времени в научных трудах появляются графики скорости движения, и кинематические доказательства приобретают геометрический характер.

Равномерное движение

Равномерное движение – это движение, при котором тело за равные промежутки времени проходит одинаковые отрезки пути.

Изменение положения тела со временем характеризуется скоростью. Следует различать среднюю и мгновенную скорость тела (рис. 1.3). Под средней скоростью понимают путь, пройденный телом в единицу времени:

Мгновенной скоростью называют предел отношения бесконечно малого изменения радиус-вектора за бесконечно малый промежуток времени, в течение которого это перемещение произошло. Т.е. мгновенная скорость равна первой производной радиус-вектора по времени:

Из определений следует, что средняя скорость параллельна вектору перемещения (рис. 1.3). При стремлении времени движения к нулю вектор перемещения тоже устремится к нулю и будет направлен по касательной, а, значит, и вектор мгновенной скорости будет всегда направлен по касательной к траектории.

Обратная связь между радиус-вектором и мгновенной скоростью выражается интегралом:

Равномерное движение можно описать в векторном (для радиус-вектора), координатном и скалярном (для пройденного пути) видах (таблица 1.1).

Таблица 1.1 – Системы уравнений, описывающие

Равномерное движение

Для радиус-вектора	Для координаты	Для пройденного пути

В этих уравнениях – вектор скорости, V_x – проекция вектора скорости на ось OX, V – модуль скорости , – время движения [c].

Общий вид графиков зависимости координаты и скорости от времени при равномерном движении приведен на рисунке 1.4.

5 Равноускоренное движение

Равноускоренное движение – это движение, при котором скорость тела за равные промежутки времени изменяется одинаково.

Изменение скорости со временем характеризуется ускорением.

Различают среднее и мгновенное ускорение.

Под средним ускорением понимают изменение скорости в единицу времени:

Мгновенным ускорением называют предел отношения бесконечно малого изменения скорости за бесконечно малый промежуток времени, в течение которого это изменение скорости произошло. Т.е. мгновенное ускорение равно первой производной скорости по времени или второй производной радиус-вектора по времени:

Обратная связь между ускорением и скоростью выражается интегралом:

Равноускоренное движение можно описать в векторном (для радиус-вектора), координатном и скалярном (для пройденного пути) видах (табл. 1.2).

В этих уравнениях – вектор скорости, – вектор начальной скорости, V_x – проекция вектора скорости на ось ОХ, – проекция вектора начальной скорости на ось ОХ, V – модуль скорости [м/с], V ₀ – модуль начальной скорости [м/с], – вектор ускорения, а_х – проекция вектора ускорения на ось ОХ, а – модуль ускорения [м/с²], – время движения [с].

Общий вид графиков зависимости координаты, скорости и ускорения от времени при равноускоренном движении приведен на рисунке 1.5

Таблица 1.2 – Системы уравнений, описывающие равноускоренное движение

Для радиус-вектора	Для координаты	Для пройденного пути

При решении задач по кинематике свободного падения составляется система кинематических уравнений:

где h – высота, с которой тело падает [м], V – модуль скорости [м/с], V ₀ – модуль начальной скорости [м/с], – ускорение свободного падения, – время движения [с].

Примеры решения задач

Задача 1. Пассажирский поезд первую половину времени ехал со скоростью V ₁ = 60 км/ч, а вторую половину времени ехал со скоростью V ₂ = 90 км/ч. Товарный поезд первую половину пути ехал со скоростью V ₃ = 60 км/ч, а вторую половину пути – со скоростью V ₄ = 90 км/ч. На сколько средняя скорость V_T товарного поезда больше средней скорости V _П пассажирского поезда?

Решение

1) По определению средней скорости находим среднюю скорость пассажирского поезда:

2) Также находим среднюю скорость товарного поезда:

3) Средняя скорость пассажирского поезда на ΔV = 75 км/ч – 72 км/ч = = 3 км/ч больше средней скорости товарного поезда.

Задача 2. Тело, двигаясь равноускоренно и имея начальную скорость V₀ = = 2 м/с, прошло за пятую секунду путь ΔS₅ = 4,5 м. Определить путь, пройденный телом за время t = 10 с.

Решение

Путь, пройденный телом за время t, находится по формуле: .

Чтобы найти путь, пройденный телом за пятую секунду, надо из пути, пройденного телом за пять секунд, отнять путь, пройденный телом за четыре секунды:

, где .

Решая эти три уравнения, получаем: . Для нахождения пути, пройденного телом за время t, вычисляем из полученного уравнения ускорение а:

Тогда путь, пройденный телом за время t, равен:

Задача 3. С какой высоты Н тело свободно падает, если за последнюю секунду своего падения тело пролетело 3/4 всего пути? Сколько времени t тело падало?

Решение

Обозначим время, за которое тело пролетело 3/4 всего пути, через Δt = 1 с. По условию задачи V ₀ = 0. Тогда, применяя систему кинематических уравнений, описывающих свободное падение, получим уравнение для нахождения высоты Н:

(1)

В этом уравнении две неизвестных величины H и t. Составляем второе это уравнение с этими неизвестными. В точке с координатой 3/4Н скорость уже не равна нулю (рис. 1.6). Поэтому рассмотрим участок длиной 1/4Н. Время движения на этом участке (t- Δt). Следовательно:

(2)

Полученная система уравнений (1) и (2) является решаемой. Подставляем уравнение (1) в уравнение (2):

Решаем полученное квадратное уравнение относительно времени t:

Полученный ответ t₂ = 0,67 с не соответствует условию задачи, т.к. по условию задачи только на последнем участке падение длилось 1 с, следовательно, все время движения больше одной секунды. Поэтому время t₁ = = 2 с является ответом. Подставляя это значение времени в уравнение (1), получим:

Задача 4. Определить путь, пройденный свободно падающим телом за первую 0,1 с и последнюю 0,1 с падения, если тело падает с высоты Н = 100 м.

Решение

1) Путь, пройденный свободно падающим телом за первую 0,1 с, находим по уравнению (1) из предыдущей задачи:

2) Чтобы найти путь, пройденный свободно падающим телом за последнюю 0,1 с, находим все время движения:

3) Путь, пройденный свободно падающим телом за последнюю 0,1 с будет равен разности всего пути и пути, пройденного свободно падающим телом за время Δt = (4,52 с – 0,1 с) = 4,42 с:

Вопросы и задания для самоконтроля

1. Что изучает механика? Рассмотрите историю создания механики и составьте свою схему взаимосвязи ее разделов.

2. Охарактеризуйте основные понятия механики. Какие свойства пространства и времени приводят в механике к законам сохранения?

3. Что изучает кинематика? Какие условия использования кинематических уравнений Вы знаете? Приведите примеры поступательного, вращательного и вращательно-поступательного движения тел.

4. Как выбирается система координат для описания механического движения?

5. Дайте определение радиус-вектора. Как определить его длину? Какие существуют два способа описания механического движения в декартовой системе координат? В чем они заключаются? Как они взаимосвязаны между собой?

6. Какое движение называется равномерным? Приведите примеры равномерного движения. Запишите системы уравнений, описывающих равномерное движение в векторном, координатном и скалярном видах. Дайте определение средней и мгновенной скорости.

7. Какое движение называется равноускоренным? Приведите примеры равноускоренного движения. Дайте определение среднего и мгновенного ускорения. Запишите системы уравнений, описывающих равноускоренное движение в векторном и координатном видах.

8. Запишите систему уравнений, описывающую равноускоренное движение в скалярном виде. Получите из нее зависимости: 1) между скоростью, ускорением и пройденным путем при равноускоренном и равнозамедленном движении; 2) между начальной и конечной скоростью, временем движения и пройденным путем при равноускоренном и равнозамедленном движении.

По графику зависимости ускорения а(t) от времени построить графики зависимости скорости V(t) и координаты Х(t) от времени. Считать, что начальные значения скорости V₀ = 0 и координаты Х₀ = 0 – заданы.

Рекомендованная литература

1. Волькенштейн В.С. Сборник задач по общему курсу. – М.: Главная ред. физ.-мат. литературы, 1987. – 456 с. – (Задачи №№ 1.1-1.25).

2. Евграфова Н.Н., В.Л. Каган. Курс физики. – Изд. 2-е, перераб. и доп. – М.: Высшая школа, 1978. – 512 с. – С. 8-34.

3. Кудрявцев П.С. Курс истории физики: Учебное пособие для студентов пед. ин-тов по физ. спец. – 2-е изд., испр. и доп. – М.: Просвещение, 1982. – 448 с. – С. 11-48.

КИНЕМАТИКА ДВИЖЕНИЯ ПО ОКРУЖНОСТИ.

КРИВОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ

План

1 Вращательное движение. Угловые величины.

2 Взаимосвязь между линейными и угловыми величинами.

3 Система кинематических уравнений, описывающих равнопеременное движение по окружности.

4 Система кинематических уравнений, описывающих движение тела, брошенного под углом к горизонту.

5 Примеры решения задач.

1 Вращательное движение. Угловые величины

К XIV веку относятся сведения про ввод в научную терминологию понятия угловой скорости.

Т.к. при движении по окружности вектор скорости постоянно меняет свое направление (рис.2.1), то говорить о равномерном движении по окружности некорректно.

Для описания движения по окружности полное ускорение раскладывается по правилу параллелограмма на составляющие, а его модуль рассчитывается по теореме Пифагора:

где – нормальное ускорение (центростремительное), – тангенциальное (касательное) ускорение.

Нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению и равно отношению квадрату скорости к радиусу кривизны:

Тангенциальное ускорение характеризует изменение скорости по величине и равно изменению скорости в единицу времени или равно первой производной линейной скорости по времени:

Дата добавления: 2021-05-18; просмотров: 55; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 123 4 5 6 7 8 9 10 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!