Доходность облигации к погашению
Доходность к погашению 
определяется как годовая процентная ставка, при которой текущая стоимость 
облигации совпадает с ее рыночной ценой 
.
Если известны рыночная цена , номинальная стоимость 
, срок погашения 
и купонная ставка 
, то доходность к погашению для классической облигации определяется из решения уравнения
(3.6)
В случае облигации с купонным периодом 
значение определяется из уравнения
Свойства рыночной цены и доходности к погашению
Для простоты ограничимся здесь рассмотрением классических облигаций, заметив, что в общем случае облигации обладают теми же свойствами.
Свойство 1.Рыночная цена облигации 
как функция доходности к погашению 
является непрерывной, монотонно убывающей, выпуклой вниз (вогнутой) функцией, принимающей любые положительные значения.
Свойство 2.Облигация продается по номиналу тогда и только тогда, когда ее доходность к погашению равна купонной ставки, то есть:
;
б) Облигация продается с дисконтом 
тогда и только тогда, когда ее доходность к погашению больше купонной ставки, то есть:
;
в) Облигация продается с премией 
тогда и только тогда, когда ее доходность к погашению меньше купонной ставки, то есть:
.
Свойство 3.Если рыночная цена облигации 
растет, то ее доходность к погашению 
уменьшается. Если рыночная цена облигации падает, то ее доходность к погашению увеличивается.
|
|
|
Свойство 4.При постоянной доходности к погашению 
величина дисконта или премии уменьшается при уменьшении времени до погашения 
.
Свойство 5. При постоянной доходности к погашению :
; 
; 
.
Свойство 6.Если две облигации имеют одинаковые значения годовой купонной ставки 
, номинала 
и доходности к погашению 
, то облигация с меньшим сроком обращения 
будет продаваться с меньшим дисконтом или премией.
Свойство 7.Уменьшение доходности к погашению 
на величину 
приведет к увеличению ее рыночной стоимости на величину 
большую, чем уменьшение ее рыночной стоимости на величину 
при увеличении доходности к погашению 
на такую же величину . То есть если обозначить:
и 
, то справедливо неравенство: 
для всех 
.
Свойство 8.При любой положительнойрыночной цене облигации 
существует единственное значение величины доходности к погашению 
которая является решением уравнения:
.
Формула для приближенного вычисления значения при больших 
имеет вид:
(3.7)
|
|
|
При небольших 
используется другая приближенная формула, которая имеет вид:
(3.8)
Пример 4. Найти доходность к погашению для облигации с номинальной стоимостью 10000 руб. и годовой купонной ставкой 9%, если за 7 лет до погашения ее рыночная цена равна а)10000 руб., б) 12200 руб., в) 7800 руб.
Решение. 
; 
; 
; 
; 
а) Курс облигации равен: 
. (см. свойство 2)
.
б) Курс облигации равен: 
.
в) Курс облигации равен: 
.
Ответ. а) 
, б) 
, в) 
.
Пример 5. Найти двумя способами: а) по точной формуле и б) по приближенной формуле доходность к погашению для облигации с номинальной стоимостью 10000 руб. и годовой купонной ставкой 5%. Рыночная цена облигации за 2 года до погашения равна 7120 руб.
Решение. 
; 
; 
; 
; 
;
а) Точное значение доходности к погашению является корнем уравнения:
Сделаем замену переменной и получим квадратное уравнение:
;
(не подходит); 
.
Возвращаясь к исходной переменной, имеем:
Ответ. 
.
б) Курс облигации 
.
Доходность к погашению, вычисленная по приближенной формуле, равна:
.
Ответ. 
.
Видно, что оценка 
, выполненная по приближенной формуле, хорошо согласуется с точным значением .
|
|
|
Пример 6. Найти изменение рыночной цены облигации с номинальной стоимостью 10000 руб., годовой купонной ставкой 7%, сроком до погашения 5 лет, если ее доходность к погашению увеличилась с 7% до 8%.
Решение. ; 
; 
; ; 
; 
; 
.
; 
.
руб.
Ответ. 
руб.
Пример 7. Найти изменение рыночной цены облигации с номинальной стоимостью 10000 руб., годовой купонной ставкой 7%, сроком до погашения 5 лет, если ее доходность к погашению уменьшилась с 7% до 6%.
Решение. ; ; ; ; ; 
; 
.
; 
.
руб.
Ответ. 
руб.
Видно, что 
.
Пример 8. Облигация номинальной стоимостью 100000 руб. продается за 6 лет до погашения. Годовая купонная ставка равна 9%. Доходность к погашению равна 11%. Найти величину дисконта.
Решение. 
; 
; ; 
; 
Найдем рыночную цену облигации:
руб.
Дисконт равен:
руб.
Ответ. 
руб.
Пример 9. Облигация номинальной стоимостью 100000 руб. продается за 6 лет до погашения. Годовая купонная ставка равна 9%. Доходность к погашению равна 7%. Найти величину премии.
Решение. 
; ; ; 
; 
Найдем рыночную цену облигации:
руб.
Премия равна:
руб.
Ответ. 
руб.
Дюрация облигации
Дюрацией облигации называется дюрация финансового потока облигации: 
, где 
. В соответствии с общим определением дюрацией Маколея или просто дюрацией облигации называется величина:
|
|
|
, (3.9)
где 
финансовый поток купонной облигации, , 
- весовые коэффициенты, определяющие вес каждого приведённого купонного платежа 
в текущей стоимости финансового потока облигации , значения которых равны 
, причем 
.
Таким образом, дюрация есть средний срок поступления дохода от облигации с учетом дисконтирования платежей.
Пример 10. Найти дюрацию облигации, задаваемой потоком платежей:
при годовой процентной ставке 10%.
Решение. 
; 
; 
; 
; 
Текущая стоимость облигации равна:
Весовые коэффициенты, определяющие вес каждого платежа в текущей стоимости потока, равны
; 
;
; 
.
Дюрация облигации равна
С учетом (3.1) несложно показать, что дюрация обычной купонной облигации может быть записана в виде
(3. 10 )
Из соотношения (3.10) следуют следующие основные свойства дюрации.
Свойство 1.Дюрация бескупонной облигации равна времени ее погашения.
Свойство 2.Дюрация купонной облигации меньше времени ее погашения.
Свойство 3.Если сумма денег предоставляется в заем на один год при однократном начислении процента, то дюрация равна единице.
Свойство 4.Дюрация 
является невозрастающей функцией процентной ставки 
.
Свойство 5.Дюрация облигации не зависит от номинальной стоимости и
при 
равна
(3.11)
Свойство 6.Для бессрочных облигаций 
дюрация равна:
(3.12)
Свойство 7.Дюрация 
является убывающей функцией купонной ставки 
.
Свойство 8.Если облигация продается с премией 
, то дюрация 
является возрастающей функцией от срока до погашения 
. Если же облигация продается с дисконтом 
, то функция 
имеет максимум при 
, где
.
В этом случае возрастает при 
и убывает при 
.
Пример 11. Найти дюрацию облигации, продаваемой по номинальной стоимости со сроком погашения n=8 лет и купонной ставке с=10% (с ежегодной выплатой).
Решение. Так как облигация продается по номиналу, то i = c=10% и можно воспользоваться формулой (3.11 )
.
3.7. Чувствительность текущей стоимости облигации к изменениям годовой процентной ставки.
Оценим чувствительность текущей цены облигации 
к изменениям годовой процентной ставки 
. Как было отмечено , справедливо равенство
, (3.13)
где 
- модифицированная дюрация облигации.
При малых относительных изменениях процентной ставки, применяя хорошо известную из математического анализа приближённую формулу для приращения функции 
, получаем, что (3.13) может быть записано в виде
(3.14)
Из данного выражения следует, что модифицированная дюрация определяет чувствительность текущей стоимости облигации к небольшим колебаниям уровня годовой процентной ставки 
на рынке: если увеличится на 1 процентный пункт, то 
уменьшится примерно на 
процентов.
Пример 12. Найти модифицированную дюрацию облигации, задаваемой потоком платежей:
при годовой процентной ставке 10%. Используя полученное значение модифицированной дюрации, найти относительное изменение текущей стоимости облигации при увеличении годовой процентной ставки на 1 процентный пункт.
Решение. ; ; ; ; 
; 
При решении задачи 10 было найдено значение дюрации данной облигации 
.
Модифицированная дюрация равна:
.
Относительное изменение текущей стоимости облигации при увеличении годовой процентной ставки на 1 процентный пункт равно
Ответ. 
; 
Выпуклость облигации
Для более точного учета чувствительности текущей цены облигации к изменениям годовой процентной ставки воспользуемся разложением Тейлора функции 
, оставляя в нем первые 3 слагаемых
.
Тогда относительное приращение функции равно:
.
Выпуклостью 
облигации называется величина
.
С учетом , что 
получим, что
(3.15)
Применяя - весовые коэффициенты, определяющие вес каждого платежа 
в текущей стоимости потока, можно формулу (3.15) также записать в виде:
(3.16)
Таким образом с учетом (3.13) и (3.15) следует, что
(3.17)
Пример 13. Найти модифицированную дюрацию и выпуклость облигации, задаваемой потоком платежей:
при годовой процентной ставке 10%. Используя полученные значения модифицированной дюрации и выпуклости, найти относительное изменение текущей стоимости облигации при увеличении годовой процентной ставки на 1 процентный пункт.
Решение. ; ; ; ; ; 
;
При решении задачи 8 было найдено значение модифицированной дюрации данной облигации: 
.
При решении задачи 7 были найдены весовые коэффициенты, определяющие вес каждого платежа в текущей стоимости потока платежей данной облигации:
; 
; 
; 
.
Выпуклость облигации равна:
.
Относительное изменение текущей стоимости облигации при увеличении годовой процентной ставки на 1 процентный пункт равно:
Ответ. ; 
; 
Заметим, что так как зависимости текущей стоимости 
облигации от годовой процентной ставки 
и рыночной цены облигации 
от доходности к погашению 
являются идентичными:
,
,
то все формулы для дюрации, модифицированной дюрации и выпуклости, выведенные исходя из зависимости 
остаются справедливыми при замене текущей стоимости 
на рыночную цену 
и годовой процентной ставки 
на доходность к погашению 
.
Например, выражения для дюрации имеют вид:
,
(3.18)
В частности, если облигация продается по номиналу, то есть при 
дюрация равна:
.
Выпуклость облигации равна:
.
В линейном приближении:
(3.19)
В квадратичном приближении:
.
Пример 14. Дюрация облигацииравна 5,2512. Доходность к погашению облигации равна 10%. На сколько процентов изменится рыночная цена облигации при увеличении доходности к погашению на 1 процентный пункт?
Решение. 
; 
; 
. С учетом (3.19) найдем
Пример 14. Срок погашения облигации 10 лет, доходность к погашению равна 10%, годовая купонная ставка равна 5%. Найти дюрацию облигации.
Решение. 
; 
; 
. Согласно (3.18)
.
Отсюда находим
лет.
Ответ. 7,6609 лет.
Пример 15. Облигация со сроком погашения 10 лет и годовой купонной ставкой 5% продается по номиналу. Найти дюрацию облигации.
Решение. ; 
. Так как облигация продается по номиналу, то ее доходность к погашению равна годовой купонной ставке, то есть 
. Тогда
.
лет.
Ответ. 8,11 лет.
Дюрация портфеля облигаций
Рассмотрим портфель 
облигаций, состоящий из n видов облигаций 
взятых в количестве q1 , q2,…, qn . Тогда поток платежей такого портфеля имеет вид
.
Нетрудно показать, что дюрация такого портфеля облигаций 
определяется как средневзвешенная сумма дюраций 
отдельных видов облигаций, входящих в портфель
(3.20)
где
стоимостная доля облигаций 
го вида, 
цена одной облигации 
.
Пример 16. Инвестиционный портфель содержит два вида облигаций по 15 и 10 штук с дюрациями 4 года и 3 года и ценами 1000 и 2500 руб. соответственно. Найти дюрацию такого портфеля.
Решение.
Найдем стоимостные доли каждой облигации
,
.
Отсюда с учетом (3.20) получим
Ответ. 
Дата добавления: 2020-04-08; просмотров: 2110; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!