Регулярные потоки платежей, ренты.

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 13Следующая ⇒

Поток платежей называется регулярным потокомили рентой, если длина промежутка времени - между любыми соседними положительными платежами постоянна и . Величина называется периодом ренты.

Различают авансированные ренты (пренумерандо) и обыкновенные ренты постнумерандо. В первом случае каждый платёж осуществляется вначале соответствующего платёжного периода и финансовый поток ренты имеет вид , а во втором – в конце платёжного периода и финансовый поток ренты имеет вид .

Рента с одинаковыми платежами в каждый период времени то есть такие, что , носит название постоянной (аннуитет). В дальнейшем большая часть темы 2 посвящена рассмотрению именно постоянных рент.

Простая рента.

В случае простой ренты в конце каждого года осуществляется один платеж- , в течение лет. На рентные платежи начисляются сложные проценты по годовой процентной ставке . Финансовый поток простой ренты, имеет вид

Приведённая стоимость простой ренты может быть найдена путем суммирования ряда , указанного выше и представляющего геометрическую прогрессию :

(2.8)

где - коэффициент приведения

Для наращенной величины простой ренты в силу формулы (2.6) имеем:

(2.9)

где - коэффициент наращения

Из выражений (2.8) – (2.9) следует, что (2.10)

Напомним, что сумма конечной геометрической прогрессии определяется по формуле

где -первый член геометрической прогрессии и знаменатель геометрической прогрессии, -число членов геометрической прогрессии. В случае приведенной стоимости обычной ренты , . Аналогичным образом может быть получена формула (2.9) и все последующие формулы для более сложных рент.

Пример 7. В течение 3 лет на расчетный счет в конце каждого года поступает по 10 млн. руб., на которые начисляются проценты по сложной годовой ставке 10 %. Требуется определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.

Решение. С учетом условия задачи имеем простую ренту с параметрами: . Отсюда с учетом (2.8) находим сумму на расчетном счете к концу указанного срока.

млн.руб.

Пример 8. Фонд величиной 200 млн. руб. создается с помощью одинаковых платежей 20 млн. руб., поступающих в конце каждого года. Годовая ставка 8%. Сколько лет понадобится для создания фонда?

Решение. S=200 млн. руб., R=20 млн. руб., i=0,08. Поскольку, то получим Отсюда после простых преобразований находим, что лет.

Пример 9. Текущую задолженность в 150 млн. руб. договорились погасить в рассрочку с помощью одинаковых платежей, вносимых 6 лет подряд в конце каждого года по ставке 12% сложных годовых. Определить величину каждого платежа.

Решение. Найдем платеж R с помощью выражения , полученного из соотношения (2.3) .Подставляя в нее соответствующие значения A =150 млн. руб.; i =12%,n =6 получим величину платежа

руб.

Для обычной ренты пренумерандо, финансовый поток имеет вид , и её приведённая стоимость и наращенная стоимость - находятся по формулам (2.11)

(2.12)

Соответственно, её коэффициенты приведения и коэффициент наращения

ренты пренумерандо находятся по формулам

Пример 10. Николай Иванович вносит ежегодно в начале года в банк по 800 руб. под сложные 5 %. Какой у него образуется капитал к концу 20-го года?

Решение. Поскольку деньги вносятся на счет в начале года, то применяем формулу (2.12) для обычной ренты пренумерандо. Тогда капитал к концу 20-го года будет равен

руб.

Пример 11. Фонд создается с помощью ренты пренумерандо в течение 5 лет с ежегодными платежами 24 млн. руб. Годовая ставка 8,5%. Найти наращенную и современную величину фонда.

Решение. С учетом n =5, R =24 млн.руб. i =0,085 . Современная стоимость обыкновенной ренты пренумерандо, определяется по формуле (2.11)

руб.

Наращенную стоимость найдем по формуле (2.12)

руб.

2.2.2. p -срочные ренты .

Рассмотрим теперь так называемую p -срочную ренту, когда рентный платеж производится не один раз в конце годового периода, а разбит на p одинаковых платежей, равномерно распределенных в течение года, в этом случае соответствующий поток платежей имеет вид и называется р- срочной рентой. Пусть при этом начисление процентов производится m раз в году также через равные промежутки времени с годовой ставкой по сложным процентам i.

Тогда приведённая стоимость р - срочной рентой c m начислением в году может быть подсчитана по формуле геометрической прогрессии и имеет вид

(2.13) где коэффициент приведения р- срочной ренты с m начислением в году .

Аналогичным образом может быть получена формула наращенной суммы p -срочной ренты, которая имеет вид

(2.14)

где - коэффициент наращения р- срочной ренты с m начислением в году .

. Как видно из (2.13) и (2.14), наращенная стоимость p -срочной ренты связана с её приведённой стоимостью следующим выражением:

(2.15)

Отметим, что полученные выражения позволяют рассчитывать различные случаи рент, в частности, простую ренту, имеющую параметры - и .

Пример 12. В течение 10 лет раз в квартал в пенсионный фонд вносится по 250 0 руб. Начисление процентов производится каждые полгода при ставке 10 % годовых. Найти конечную сумму и современную стоимость .

Решение . Из условия задачи имеем: n =10 , R / p =25000 руб. , m = 2, p = 4, j = 10 %. Отсюда следует, что поток платежей представляет p - срочную ренту (p = 4) с конечным числом начислений процентов (m = 2) и ее конечная сумма согласно (2.14) равна

1673712 руб.

Соответственно, с учетом (2.15) найдем современную стоимость этой ренты

=630804,4 руб.

Пример 13. Ежеквартально в течение 2 лет клиент помещает на счет в банке 100 тыс. руб. Определить современную стоимость финансовой ренты, если

проценты по ставке 12% годовых начисляются ежемесячно.

Решение .Из условия задачи имеем: n = 2, R / p =100 тыс. руб. , m = 12, p = 4, j = 12 %. Отсюда следует, что поток платежей представляет p - срочную (p = 4) с конечным числом начислений процентов (m = 12) ренту и ее современная стоимость согласно (2.13) равна

руб.

Пример 14. Какой срок необходим для накопления 100 млн. руб. при условии, что ежемесячно вносится по 5 млн. руб., а на накопления ежегодно начисляются проценты по ставке 10% годовых.

Решение. Из (2.13) следует, что

Отсюда, учитывая данные задачи: S =100 млн. руб. , R =5млн.руб., i =0,10, p =12, m =1,и подставляя их в (2.13 ) получим

В случае p- срочной ренты пренумерандо финансовый поток имеет вид , а приведённая стоимость - и наращенная стоимость p- срочной ренты пренумерандо c m начислением в году описываются следующими выражениями:

. (2.16)

Пример 15. В начале каждого квартала в течение 2 лет предприниматель вносит часть своих доходов в размере 100 тыс. руб. на собственный счет в банке. Определить наращенную сумму финансовой ренты, если проценты по ставке 12% годовых начисляются ежемесячно.

Решение .Из условия задачи имеем: n = 2, R / p =100 тыс. руб. , m = 12, p = 4, j = 12 %. Отсюда следует, что поток платежей представляет p - срочную (p = 4) ренту пренумерандо с конечным числом начислений процентов (m = 12) и ее конечная стоимость согласно (2.13) и (2.16) равна

руб.

Пример 16. Во сколько раз увеличится приведенная величина месячной ренты постнумерандо, если платежи выполняются в начале периода и годовая ставка равна 10%.

Решение. Увеличение приведенной ренты получим с учетом (2.16) и условий задачи -р=12 , i=10%

, откуда

2.2.3. Вечные ренты.

Вечная обычная рента продолжается неограниченно долго, то есть её срок не ограничен , а ее финансовый поток имеет вид .

Тогда ее приведенная стоимость определяется как сумма геометрической прогрессии, которая может быть записана в виде

(2.17)

Отсюда следует .

Смысл полученного равенства очевиден: чтобы рента была вечной, выплаты

за период ренты должны равняться набежавшим за тот же период процентам с первоначального вклада (приведённой стоимости).

Пример 17. Квартира арендована за 100000 руб.год в год. Какова выкупная цена аренды при годовой ставке процента 10%?

Решение: R = 10 000 руб.; i = 0,1. Выкупная цена ренты - это современная величина всех будущих арендных платежей. Она согласно (2.17) равна : руб.

Формула для вычисления современной стоимости р-срочной вечной

ренты с начислением процентов m раз в году имеет вид:

(2.18)

Пример 18. Определите цену вечной ренты аренды, выплаты по которой в конце каждого месяца составляют 2 тыс. рублей при номинальной процентной ставке 12% годовых и ежеквартальном начислении процентов.

Решение: R = 10 000 руб.; i = 0,12; p=12; m=4. Цена вечной р- срочной ренты аренды с учетом (2.18) равна

руб.

Пример 19. Определите размер банковского вклада, обеспечивающий ежегодное получение дохода величины 10 тыс. рубл. : 1) в течение 15 лет; 2) в течение неограниченного срока. Процентная ставка равна 10%.

Решение. 1) R = 10 000 руб.; i = 0,10; p=1; m=1; n=15. С учетом формулы (2.8) получим

руб.

2) R = 10 000 руб.; i = 0,10; p=1; m=1 и . Согласно (2.17) получим

руб.

Непрерывные ренты

2.3.1. Непрерывная рента ( ) с m –кратным начислением процентов.

Приведенная величина непрерывной ренты ( ) с m-кратным начислением процентов находим как предел выражения ( 2.13) при

(2.19)

Для наращенной величины непрерывной ренты с m-кратным начислением процентов получим с учетом (2.14)

(2.20)

Пример 20. Найти современную и наращенную величины непрерывной ренты с ежегодным начислением процентов. Величина рентного платежа 800000 руб. Срок ренты 6 лет. Номинальная процентная ставка 9%.

Решение. С учетом n=6, R=800000 руб., m=1 и i=0,09. Современная стоимость непрерывной ренты постнумерандо определяется по формуле (2.19)

руб.

Наращенная (конечная) стоимость может быть теперь найдена с учетом соотношения (2.14) или (2.20)

руб.

2.3.2. p - срочная рента с непрерывным начислением процентов

С учетом (2.13)- (2.14) получим

(2.21)

. (2.22)

Связь между приведенной и наращенной величинами p - срочной ренты с непрерывным начислением процентов с учетом (2.21)-(2.22) имеет вид

(2.23)

Пример 21. В фонд ежегодно поступают средства по 10 000 руб. в течение 7 лет, на которые начисляются проценты по силе роста 15 % годовых, причем средства поступают поквартально, а проценты начисляются непрерывно. Определить величину фонда на конец срока и ее современную стоимость.

Решение. R=10000 руб., n=7, p=4 , i=0,15 и . Современная стоимость ренты с непрерывным начислением процентов рассчитывается по формуле (2.21) :

руб.

Наращенная сумма ренты находится по формуле (2.22) или (2.23)

руб.

2.3.3. Непрерывная рента с непрерывным начислением процентов

С учетом (2.19)-(2.20) получим

(2.24)

(2.25)

Связь между приведенной и наращенной величины непрерывной ренты с непрерывным начислением процентов также имеет вид

(2.26)

Пример 22. В фонд ежегодно поступают средства по 10 млн. руб. в течение 7 лет, на которые начисляются проценты по силе роста 15 % годовых, причем выплаты производятся непрерывно и проценты начисляются непрерывно. Определить величину фонда на конец срока и ее современную стоимость.

Решение. R=10 млн.руб., n=7, , i=0,15 и . Современная величина ренты с непрерывным начислением процентов рассчитывается по формуле (2.24) :

43,337млн. руб.

Наращенная сумма ренты находится по формуле (2.26)

млн.руб.

Отметим, что в случае p-cрочной ренты пренумерандо с начислением % m- раз в году справедливо соотношение вида

В случае непрерывной ренты при любой кратности начислений справедливы соотношения вида

Другие типы рент.

Дата добавления: 2020-04-08; просмотров: 3473; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 123 4 5 6 7 8 9 10 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!