Портфель Марковица минимального риска произвольной доходности.

⇐ ПредыдущаяСтр 10 из 13Следующая ⇒

Задача состоит в том, чтобы найти вектор , такой что:

при условии

где - вектор-столбец, состоящий из единиц.

Применяя метод множителей Лагранжа, находим, что портфель минимального риска имеет вид:

где - множитель Лагранжа и .

Отсюда получаем, что квадрат риска портфеля минимального риска

а риск портфеля минимального риска

Пусть - вектор ожидаемых доходностей бумаг портфеля. Тогда ожидаемая доходность портфеля минимального риска равна:

Обозначая через число

получаем значение ожидаемой доходности портфеля минимального риска

Пример 8. На рынке присутствуют два активас ожидаемыми доходностями: , и ковариационной матрицей . Найти портфель минимального риска , его риск и доходность.

Решение. Портфель минимального риска имеет вид:

; ;

Константа .

Портфель минимального риска равен:

Его риск равен:

Доходность портфеля минимального риска равна:

Ответ. ; ;

Пример 9. На рынке присутствуют два актива: и . Коэффициент корреляции активов . Найти портфель минимального риска, его доходность и риск.

Решение. Составим ковариационную матрицу. Ее элементы равны:

; ; .

Ковариационная матрица равна:

Обратная матрица равна:

Константа .

Портфель минимального риска равен:

Вектор ожидаемых доходностей активов равен: .

Константа равна:

Доходность портфеля минимального риска равна:

Риск портфеля минимального риска равен:

Ответ. ; ; .

Пример 10. На рынке присутствуют три активас ожидаемыми доходностями: , , и ковариационной матрицей .

Найти портфель минимального риска и его риск и доходность.

Решение. Портфель минимального риска имеет вид:

;

Портфель минимального риска равен:

Его риск равен:

Доходность портфеля минимального риска равна:

Ответ. ; ; .

Портфель Марковица минимального риска при заданной доходности

Требуется найти портфель , который минимизировал бы риск и обеспечивал заданную величину ожидаемой доходности:

при условиях:

Предполагается, что ковариационная матрица является положительно определенной, то есть для любого ненулевого вектора справедливо неравенство

Как известно из линейной алгебры, в этом случае матрица является невырожденной ( поскольку согласно критерию Сильвестра её определитель ) и обратная к ней матрица также является положительно определенной.

Предполагается также, что вектор ожидаемых доходностей активов, обращающихся на рынке не коллинеарен вектору , то есть доходности не всех активов одинаковы.

Введем следующие обозначения для констант:

; ; ; .

В силу положительной определенности матрицы справедливы соотношения:

; ; .

Для решения поставленной задачи составим функцию Лагранжа и найдем ее экстремум:

где - множители Лагранжа. Приравнивая к нулю производную по и учитывая условия, наложенные на , получим систему уравнений:

Выразим из первого уравнения:

и подставим во второе и третье уравнения:

Раскрывая скобки с учетом введенных выше обозначений, получим систему:

Определитель данной системы равен:

Следовательно, она имеет единственное решение:

; .

Таким образом, портфель минимального риска при заданной его ожидаемой доходности равен:

Минимальное значение квадрата риска равно:

Так как

и ,

то:

Для каждого значения ожидаемой доходности имеется единственный портфель , обеспечивающий минимальное значение риска:

Полученная зависимость называется уравнением минимальной границы, а график функции называется минимальной границей и представляет собой верхнюю ветвь гиперболы с асимптотами:

и минимумом в точке

Рис. 4.1. Минимальная граница риска

Минимальной границей является кривая AMB. Асимптоты изображены штриховыми линиями (крупная штриховка). Точки на более доходной части минимальной границы, то есть на кривой МВ, являются эффективной границей.

Пример 11. На рынке присутствуют три активас ожидаемыми доходностями: , , и ковариационной матрицей .

Найти портфель минимального риска с ожидаемой доходностью 0,4 и его риск.

Решение. Рынок в данной задаче такой же,как и в задаче 7. Заданная доходность портфеля . Следовательно, портфель минимального риска при заданной его ожидаемой доходности равен: