Портфель Тобина минимального риска из всех портфелей с заданной ожидаемой доходностью

⇐ ПредыдущаяСтр 12 из 13Следующая ⇒

Требуется найти портфель , который минимизировал бы риск и обеспечивал заданную величину ожидаемой доходности.

Следовательно, постановка задачи такова: найти минимум целевой функции

при условиях:

где .

Умножим нижнее уравнение на :

и исключим переменную из уравнений, вычитая из верхнего уравнения нижнее. Получим уравнение:

Задача оптимизации примет следующий вид: найти минимум целевой функции

при условии:

Для решения этой задачи составим функцию Лагранжа и запишем для нее необходимые условия экстремума:

Необходимые условия экстремума имеют вид:

Выразим из первого уравнения и подставим во второе:

;

или

Множитель Лагранжа равен:

где

Вектор рисковых долей равен:

Безрисковая доля равна:

Квадрат минимального риска равен:

Так как , то уравнение минимальной границы портфеля Тобина имеет вид:

Можно показать, что эта прямая является касательной к графику минимальной границы портфеля Марковица:

Координаты точки касания равны:

; .

При этом сам касательный портфель равен:

Включение безрискового актива в портфель на практике отвечает возможности занимать или давать в долг финансовые ресурсы по безрисковой ставке.

Безрисковый актив, входящий в портфель с положительной долей означает, например, покупку государственных облигаций. Безрисковый актив, входящий в портфель с отрицательной долей, может означать заем по безрисковой ставке. Включение в портфель безрискового актива существенно упрощает множество эффективных портфелей (рис. 4.3).

Рис.4.3. Множество эффективных портфелей Тобина.

Множеством эффективных портфелей является полупрямая . Эффективные портфели составляются из безрискового актива и касательного портфеля . Полупрямая состоит из точек:

Если , то эффективным множеством портфелей является отрезок . соответствует наличию в портфеле безрисковой бумаги.

Если , то эффективным множеством портфелей является полупрямая . соответствует заимствованию финансовых ресурсов в долг по безрисковой ставке.

Пример 15. На рынке присутствуют три актива: безрисковый с доходностью 5% и два рисковых с ожидаемыми доходностями 10% и 20% и ковариационной матрицей . Найти портфель Тобина минимального риска с ожидаемой доходностью 12% и риск этого портфеля.

Решение. Вектор рисковых долей в портфеле равен:

;

Здесь - заданная доходность портфеля Тобина, - доходность безрискового актива, - вектор ожидаемых доходностей рисковых бумаг, .

Обратная матрица равна:

Вычислим параметры и :

Вектор рисковых долей в портфеле равен:

Ценовая доля безрисковой бумаги равна:

Портфель Тобина ожидаемой доходности имеет вид:

Квадрат риска портфеля равен:

Риск портфеля равен:

Ответ. ; .

Пример 16. На рынке присутствуют три актива: безрисковый с доходностью 3% и два рисковых с ожидаемыми доходностями 10% и 20% и ковариационной матрицей . Найти касательный портфель и его ожидаемую доходность и риск.

Решение. Касательный портфель имеет вид:

Здесь - доходность безрискового актива, - вектор ожидаемых доходностей рисковых бумаг, .

Обратная матрица равна:

Вычислим параметры и :

Значения ожидаемой доходности и риска касательного портфеля равны:

; .

Найдем значения констант:

;

Теперь найдем значения ожидаемой доходности и риска касательного портфеля:

;

Искомый касательный портфель равен:

Касательный портфель ожидаемой доходности и риска имеет вид:

Ответ. ; ; .

Пример 17. Дано уравнение минимальной границы: . Безрисковая доходность равна 0,05. Найти ожидаемую доходность и риск касательного портфеля.

Решение. Уравнение минимальной границы имеет вид:

Следовательно, справедливы соотношения: ; ; .

Выражая через , получаем: , и .

Подставляя полученные выражения в формулу , получаем уравнение для нахождения :

Решая его, находим и, следовательно, , , .

Так как доходность безрискового актива , ожидаемая доходность касательного портфеля равна:

Найдем параметр :

Риск касательного портфеля равен:

Ответ. , .

4.6.2. Портфель Тобина максимальной доходности из всех портфелей риска не более заданного значения

Требуется найти максимальное значение целевой функции:

при условиях: ,

Решим данную задачу графически. На рис.4.4 изобразим эффективную границу портфеля Тобина:

и граничную прямую . Так как по условию: , то портфель максимальной доходности, удовлетворяющий этому условию, будет в точке пересечения луча

и прямой .

Рис. 4.4. Определение максимальной доходности портфеля .

Таким образом, находится из уравнения:

Откуда: и .

Зная можно найти соответствующий рисковый портфель

или

и долю безрискового актива в портфеле Тобина:

Пример 18. На рынке присутствуют три актива: безрисковый с доходностью 5% и два рисковых с ожидаемыми доходностями 10% и 20% и ковариационной матрицей . Найти портфель Тобина максимальной ожидаемой доходности из всех портфелей риска не более 15% и его доходность.