Частные производные высших порядков: обозначения, независимость от

⇐ ПредыдущаяСтр 10 из 10

Порядка дифференцирований.

Они получаются повторным дифференцированием.

Частная производная не зависит от порядка дифференцирования:

Пример:

Понятие полного дифференциала. Признак полного

Дифференциала. Нахождение первообразной для полного дифференциала.

- полный дифференциал функции нескольких переменных.

- дифференциальное выражение

Признак полного дифференциала:

Если равенство выполняется, то дифференциальное выражение является полным дифференциалом функции.

Пример:

В первом случае:

- не является

Во втором случае:

- является

Нахождение первообразной для полного дифференциала:

Предположим – дифференциал

Т.е.

тогда

значит:

В этом случае функцию f называют первообразной для данного дифференциала.

Как искать первообразную (считаем, что признак выполнен):

Самое простое – посчитать два интеграла (по x и по y)

Остается составить функцию, которая согласуется с обоими полученными равенствами. Тонкость здесь в том, что в первом интеграле пишем а во втором .

36. Обобщение производной сложной функции на случай вектор-функций нескольких переменных.Набор частных производных в векторном пространстве составляет не просто вектор градиента, а целую матрицу.

- матрица *

Имеется обобщение производной сложной функции:

Для вектор-функции:

где правая часть это произведение матриц (смотри пункт *)

Точки экстремума и критические точки функции нескольких переменных

и их нахождение.Точка критическая если производная в ней равна нулю. Если точка критическая, то она подозревается на экстремум.

Признак экстремума – это

Дополнительное рассмотрение изучит только для случая двух переменных. Пусть (x₀,y₀) – критическая точка. Проверим на экстремум.

Алгоритм:

не экстремум

неопределенность

38. Метод наименьших квадратов. Вывод формул. Метод наименьших квадратов. Вывод формул.Формулы в этом методе выводятся по правилу нахождения точки экстремума

Эта система приводит к линейной системе, к которой применимо правило Крамера. Беря эти частные производные и для удобства выкладок снабжая их коэффициентом будем иметь: