Интегрирование рациональных выражений. Деление многочленов.
Для интегрирования рациональной функции 
, где P(x) и Q(x) - полиномы, используется следующая последовательность шагов:
1. Если дробь неправильная (т.е. степень P(x) больше степени Q(x)), преобразовать ее в правильную, выделив целое выражение;
2. Разложить знаменатель Q(x) на произведение одночленов и/или несократимых квадратичных выражений;
3. Разложить рациональную дробь на простейшие дроби, используя метод неопределенных коэффициентов;
4. Вычислить интегралы от простейших дробей.
Интегрирование тригонометрических выражений.
Вычисление интеграла вида 
Вычисление интеграла вида 
Вычисление интеграла вида 
.
.
Вычисление интеграла 
, где sin x и cos x входят в чётных степенях
Интегрирование рациональных выражений. Разложение в сумму элементарных дробей.
 | |||
 | |||
Интегрирование рациональных выражений. Интегрирование элементарных дробей.
Элементарными называются дроби следующих четырех типов:
I. 
III. 
II. 
IV. 
m, n – натуральные числа (m 2, n 2) и b2 – 4ac <0.
Первые два типа интегралов от элементарных дробей довольно просто приводятся к табличным подстановкой t = ax + b.
I. 
II. 
Рассмотрим метод интегрирования элементарных дробей вида III.
Интеграл дроби вида III может быть представлен в виде:
Здесь в общем виде показано приведение интеграла дроби вида III к двум табличным интегралам.
|
|
|
Рассмотрим теперь методы интегрирования простейших дробей IV типа.
Сначала рассмотрим частный случай при М = 0, N = 1.
Тогда интеграл вида 
можно путем выделения в знаменателе полного квадрата представить в виде 
. Сделаем следующее преобразование:
.
Второй интеграл, входящий в это равенство, будем брать по частям.
Обозначим: 
Для исходного интеграла получаем:
Полученная формула называется рекуррентной. Если применить ее n-1 раз, то получится табличный интеграл 
.
Вернемся теперь к интегралу от элементарной дроби вида IV в общем случае.
В полученном равенстве первый интеграл с помощью подстановки t = u 2 + s приводится к табличному 
, а ко второму интегралу применяется рассмотренная выше рекуррентная формула.
Теорема о формуле Ньютона-Лейбница.
Формула Ньютона — Лейбница или основная теорема анализа даёт соотношение между двумя операциями: взятием определенного интеграла и вычислением первообразной.
Если  непрерывна на отрезке  и  — ее любая первообразная на этом отрезке, то имеет место равенство
|
Гиперболические функции.
Гиперболические функции задаются следующими формулами:
|
|
|
· гиперболический синус:
(в англоязычной литературе обозначается 
)
· гиперболический косинус:
(в англоязычной литературе обозначается 
)
· гиперболический тангенс:
(в англоязычной литературе обозначается 
)
· гиперболический котангенс:
Иногда также определяются
· гиперболические секанс и косеканс:
Геометрическое определение
Параметризация гиперболического синуса (анимация).
Ввиду соотношения 
гиперболические функции дают параметрическое представление гиперболы 
( 
, 
). При этом аргумент 
, где 
— площадь криволинейного треугольника 
, взятая со знаком «+», если сектор лежит выше оси 
, и «−» в противоположном случае. Очевидно, что и гиперболические функции определяются через этот параметр, например, уравнения гиперболического синуса в параметрической форме: 
, где 
— ордината точки гиперболы, соответствующей площади . Это определение аналогично определению тригонометрических функций через единичную окружность, которое тоже можно построить подобным образом.
Дата добавления: 2019-09-13; просмотров: 184; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!