Скалярное произведение: определение, свойства, формула нахождения
Через координаты векторов, применения к геометрическим задачам.
Определение:
Скалярное произведение векторов – произведение длин вектора и косинуса угла между ними.
Свойства:
1) Симметричность 
2) Однородность 
3) Аддитивность 
4) 
>0, если 
=0, если 
Формула нахождения через координаты векторов:
Применение к задачам:
1) 
- скалярный квадрат
2) 
С помощью косинуса можно найти сам угол. В частности 
.
3) 
- проекция (координата) вектора 
на ось с направлением 
.
Понятие правой тройки векторов. Связь этого понятия с понятиями векторного
Произведения и смешанного произведения векторов.
Определение:
Векторы 
составляют правую тройку, если с конца вектора 
поворот вектора 
в сторону вектора 
ведется против часовой стрелки.
Векторным произведением векторов 
и 
называется вектор 
, удовлетворяющий следующим условиям:
1) 
2) 
3) составляют правую тройку векторов.
При смешанном произведении знак 
указывает, тройка 
правая или левая.
При >0 правая, при <0 левая.
Векторное произведение: определение, свойства, формула вычисления через
Координаты векторов, применения к геометрическим задачам.
Определение:
Векторным произведением векторов 
и 
называется вектор , удовлетворяющий следующим условиям:
1) 
2) 
3) 
составляют правую тройку векторов.
|
|
|
Свойства:
1) Кососимметричность 
2) Однородность 
3) Аддитивность 
4) 
Формула вычисления через координаты векторов:
Применение:
1) Площадь параллелограмма 
Площадь треугольника 
2) Легко находить вектор перпендикулярный двум данным:
Смешанное произведение: определение, свойства, формула вычисления
Через координаты векторов, геометрический смысл.
Определение:
Под смешанным произведением векторов понимают число 
.
Свойства:
1) 
2) 
3) 
4) 
- равно объему параллелепипеда, построенного на векторах 
5) При смешанном произведении знак 
указывает, тройка 
правая или левая.
При >0 правая, при <0 левая.
Формула вычисления через координаты векторов:
Геометрический смысл:
Смешанное произведение 
равно объему параллелепипеда построенного на векторах взятому со знаком плюс, если эти векторы образуют правую тройку, и со знаком минус, если они образуют левую тройку.
Примеры задач о плоскостях и прямых в пространстве, и методы их решения.
Прямые в пространстве:
Возможности:
1) Совпадают
2) Параллельны
3) Пересекаются в одной точке
4) Скрещивающиеся прямые
В случаях 2 и 4 можно искать расстояния. В случаях 3 и 4 угол между прямыми (угол между прямыми удобно находить с помощью векторов и операций с ними).
|
|
|
Прямая и плоскость:
1) Прямая лежит в плоскости 
2) Прямая параллельна плоскости и не лежит в ней
3) Пересекаются в одной точке
непаралельно α 
В случае 3 нужно найти точку пересечения. В случае 2 найти расстояние между прямой и плоскостью.
Дата добавления: 2019-09-13; просмотров: 158; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!