Площадь криволинейного сектора
Выведем формулу для вычисления площади криволинейного сектора. Для этого нам понадобится известная из школьного курса геометрии формула площади кругового сектора радиуса R с внутренним углом γ: 
(γ задается в радианах).
Разобьем криволинейный сектор на n частей такими лучами 
, 
,…, 
что 
и 
при 
.
В силу свойств площади фигуры, площадь исходного криволинейного сектора 
представится суммой площадей криволинейных секторов 
на каждом участке разбиения 
.
Пусть 
и 
- наименьшее и наибольшее значение функции 
на i-ом отрезке 
, 
. На каждом таком отрезке построим по два круговых сектора 
и 
с радиусами 
и 
соответственно.
Обозначим P и Q фигуры, являющиеся объединением круговых секторов , 
и 
соответственно.
Их площади будут равны 
и 
, причем S(P) ≤ S(G) ≤ S(Q).
Так как функция 
непрерывна на отрезке [α;β], то на этом отрезке будет также непрерывна функция 
. Для этой функции S(P) и S(Q) можно рассматривать аналогично нижней и верхней суммам Дарбу, что приводит нас к равенству
Таким образом, площадь криволинейного сектора находится по формуле 
.
Приложение определенного интеграла к вычислению длины кривой, заданной
Параметрически, в декартовых координатах, в полярных координатах.
1)Длина кривой заданная в декартовых координатах:
2) Длина кривой, заданной параметрически:
3) Кривая задана в полярных координатах: 
|
|
|
Комплексные числа: определение, обозначения, термины, арифметика.
Комплексное число – пара вещественных чисел и, естественно, обозначают точкой координатной плоскости, которую при этом называют комплексной плоскостью.
Комплексным числом называется выражение вида a + ib, где a и b – любые действительные числа, i – специальное число, которое называется мнимой единицей.
Комплексные числа часто обозначают одной буквой, например, z = a + ib. Действительное число a называется действительной частью комплексного числа z, действительная часть обозначается a = Re z. Действительное число b называется мнимой частью комплексного числа z, мнимая часть обозначается b = Im z. Ось Oy – мнимая ось, Ox – действительная ось.
Арифметика комплексных чисел:
- Суммой двух комплексных чисел a + ib и c + id называется комплексное число
| a + c + i(b + d). |
- Произведением двух комплексных чисел a + ib и c + id называется комплексное число
| ac – bd + i(ad + bc). |
Тригонометрическая и экспоненциальная форма комплексного числа.
Формула Эйлера. Геометрический смысл умножения комплексных чисел.
Возведение комплексных чисел в степень.
- тригонометрическая форма комплексного числа z.
- экспоненциальная форма комплексного числа
|
|
|
Формула Эйлера:
Геометрический смысл умножения комплексных чисел:
Пусть два комплексных числа z и z' изображаются векторами ОМ и OM'. Запишем сомножители в тригонометрической форме и вычислим произведение:
Модуль произведения (оно изображено вектором OL), есть rr', а аргумент произведения равен φ + φ'» т. е. при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.
Это правило остается в силе для любого числа сомножителей.
Возведение в степень:
Дата добавления: 2019-09-13; просмотров: 305; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!