Определитель матрицы: определение, свойства, способы вычисления.

⇐ ПредыдущаяСтр 6 из 10Следующая ⇒

Определи́тель (или детермина́нт) — одно из основных понятий линейной алгебры. Определитель матрицы является многочленом от элементов квадратной матрицы (то есть такой, у которой количество строк и столбцов равно).

Свойства определителя: 1-Если умножить строку или столбец матрицы на число,то определитель умножится на то же самое число.

2- При перестановке двух строк или двух столбцов, знак определителя меняется на противоположный.

3- Если к строке определителя прибавить другую строчку умноженную на число,то определитель не изменится. То же самое и для столбцов верно.

4- Если две строки (столбца) матрицы совпадают, то её определитель равен нулю.

5- Если хотя бы одна строка (столбец) матрицы нулевая, то определитель равен нулю.

Правило Саррюса.

A=	a₁₁	a₁₂	a₁₃	= a₁₁ * a₂₂ * a₃₃ + a₁₂ * a₂₃ * a₃₁ + a₁₃ * a₂₁ * a₃₂ - a₁₃ * a₂₂ * a₃₁ - a₁₂ * a₂₁ * a₃₃ - a₁₁ * a₂₃ * a₃₂
	a₂₁	a₂₂	a₂₃
	a₃₁	a₃₂	a₃₃

Применения определителей: правило Крамера, формула векторного произведения, формула смешанного произведения.

(Правило Крамера) Если в системе линейных уравнений с неизвестными , то система имеет решение и притом единственное. Это решение задается формулами

Доказательство. По теореме 14.1 обратная матрица находится по формуле

где -- алгебраические дополнения. Тогда из (15.3) следует, что

Заметим, что по формуле (14.13) разложение определителя по первому столбцу в точности совпадает с первым элементом матрицы-столбца в правой части последнего равенства разложение, определите ля по второму столбцу дает второй элемент матрицы-столбца и т.д. Поэтому, откуда и следует утверждение теоремы.

Векторы. Определения. Понятия равенства векторов и свободных векторов.

Вектор – пара точек. Отрезок, для для которого указано какой из его концов считается началом, а какой – концом, называется вектором.

Направление вектора (от начала к концу) на рисунках отмечается стрелкой.

Вектор, начало которого и конец совпадают, называется нулевым.

Обозначается : или

Два вектора считаются равными, если соответствующие отрезки параллельны, имеют равную длину и одинаково направлены. Векторы равны, если один из них получается из другого параллельным переносом.

Основные свойства равенства векторов:

рефлексивность: ;
симметричность: если , то ;
транзитивность: если и , то .

Отношение, обладающее данными свойствами, называется отношением эквивалентности.

Таким образом, существует множество несовпадающих закрепленных векторов, которые равны между собой. Во многих задачах безразлично какой из равных векторов рассматривать. В этих случаях говорят о свободном векторе. Под свободным вектором можно понимать любой из равных между собой векторов. Свободный вектор чаще всего обозначаются полужирными строчными латинскими буквами.

Дата добавления: 2019-09-13; просмотров: 199; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 1 2 3 4 567 8 9 10 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!