Базис и система координат. Координаты вектора. Координаты точки.
Длина вектора и расстояние между точками.
Направление вектора: направляющие косинусы вектора.
Базис векторного пространства – это упорядоченная совокупность линейно независимых векторов этого пространства, число которых равно размерности пространства.
Координаты вектора
Есть вектора a. Пусть A (x; y) – начло вектора, а A` (x`; y`) – конец вектора. Координатами вектора a называются числа a1=x-x`, a2=y-y`. Для обозначения того, что вектор a имеет координаты a1 и a2, используют запись a (a1; a2) или (a1; a2).
Координаты точки — величины, определяющие положение точки в пространстве (на плоскости, на прямой).
Длина вектора 
по определению равна длине отрезка 
а длина этого отрезка есть расстояние между точками 
и 
Значит,
|
Эта формула позволяет вычислять длину вектора, зная его координаты.
Направляющие косинусы вектора
Направляющие косинусы вектора а – это косинусы углов, которые вектор образует с положительными полуосями координат.
Чтобы найти направляющие косинусы вектора a необходимо соответствующие координаты вектора поделить на модуль вектора.
Свойство: Сумма квадратов направляющих косинусов равна единице.
Понятия линейной комбинации, линейной зависимости векторов, коллинеарности,
компланарности. Понятия линейной независимости, базиса, размерности
Пространства векторов.
Определение: Линейной комбинацией векторов 
, называется выражение вида: 
, где 
– действительные числа, называемые коэффициентами линейной комбинации. Линейная комбинация дает в результате сложения векторов, умноженных на число 
, также вектор.
Примеры:
1. 2 (2,5,1) – 4 (1,3,0) + (0,0,1) = (0,-2,3);
2. 3 (5,4) – 5 (-1,2) +2 (-10,-1) = (0,0).
|
|
|
Определение. Система векторов называется линейно зависимой, если из этих векторов можно составить нулевую линейную комбинацию, когда хотя бы один из коэффициентов ее отличен от нуля. Так, в предыдущем примере векторы (5,4), (-1,2), (-10,-1) линейно зависимы.
Если система векторов линейно зависима, то хотя бы один вектор (при котором стоит отличный от нуля коэффициент) можно выразить линейно через остальные.
Если 
, то 
.
И наоборот, если вектор 
представлен в виде линейной комбинации остальных векторов 
, то он в совокупности с ними дает систему 
линейно зависимых векторов, т.к. в комбинации 
коэффициент 
.
Определение. Система векторов называется линейно независимой, если из этих векторов невозможно составить нулевую линейную комбинацию, в которой хотя бы один из коэффициентов был бы отличен от 0. Т.е. векторы 
будут линейно независимы, если равенство 
возможно лишь при всех 
. Очевидно, ни один из этих векторов нельзя выразить через остальные.
|
|
|
Определение. Два вектора, параллельные одной и той же прямой, называются коллинеарными.
Признак коллинеарности векторов: 
Определение. Три вектора, параллельные одной и той же плоскости, называются компланарными.
Базисом на прямой называется любой нулевой вектор, принадлежащий этой прямой.
Базисом на плоскости называется любая упорядоченная пара линейно независимых векторов, принадлежащих этой плоскости.
Базисом в пространстве называется любая упорядоченная тройка линейно независимых векторов.
Размерностью векторного пространства называется число, равное максимальному количеству линейно независимых векторов в этом пространстве.
Дата добавления: 2019-09-13; просмотров: 175; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!