Метод интегрирования по частям в неопределённом интеграле.
Функции 
и 
гладкие, следовательно, возможно дифференцирование:
Эти функции также непрерывны, значит можно взять интеграл от обеих частей равенства:
Операция интегрирования обратна дифференцированию:
После перестановок:
Понятие определённого интеграла. Геометрический смысл определённого интеграла.
Определённым интегралом от непрерывной функции f(x) на конечном отрезке [a, b] (где 
) называется приращение какой-нибудь её первообразной на этом отрезке.
Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, а отрезок [a, b] – отрезком интегрирования.
Таким образом, если F(x) – какая-нибудь первообразная функция для f(x), то, согласно определению,
Равенство называется формулой Ньютона-Лейбница. Разность F(b) – F(a) кратко записывают так:
Поэтому формулу Ньютона-Лейбница будем записывать и так:
Определённый интеграл 
численно равен площади фигуры, ограниченной осью абсцисс, прямыми 
и 
и графиком функции 
.
Свойства определённого интеграла.
Основные свойства интеграла. Установим ряд важных свойств определенного интеграла. Большая часть этих свойств присуща интегралам от любых интегрируемых функций, но мы будем формулировать их для функций непрерывных.
Теорема 1. Если f(x) и g(x) - две непрерывные функции, заданные на промежутке [a, b], то
т. е. интеграл суммы равен сумме интегралов слагаемых.
В самом деле, составляя интегральную сумму для функции f(x) + g(x), очевидно, будем иметь
|
|
|
после чего остается перейти к пределу при λ → 0.
Аналогично доказывается
Теорема 2. Если f(x) - непрерывная функция, а c - постоянное число, то
т. е. постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.
Теорема 3. Пусть f(x) непрерывна на промежутке [a, b]. Если этот промежуток точкой c разложен на части [a, c] и [c, b], то интеграл по всему промежутку оказывается равным сумме интегралов по его частям, т. е.
В самом деле, будем при раздроблении промежутка [a, b] на части включать c в число точек деления. Если c = xm, то
Каждая из написанных здесь трех сумм является интегральной суммой соответственно для промежутков [a, b], [a, c] и [c, b]. Остается перейти к пределу при λ → 0.
Формула Ньютона-Лейбница.
Формула Ньютона-Лейбница - даёт соотношение между операциями взятия определенного интеграла и вычисления первообразной. Формула Ньютона-Лейбница - основная формула интегрального исчисления.
Данная формула верна для любой функции f(x), непрерывной на отрезке [а, b], F - первообразная для f(x). Таким образом, для вычисления определенного интеграла нужно найти какую-либо первообразную F функции f(x), вычислить ее значения в точках a и b и найти разность F(b) – F(a).
|
|
|
Дата добавления: 2019-09-13; просмотров: 187; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!