Интегрирование рациональных дробей с помощью разложения на простые дроби.
Разложение подынтегрального выражения до простой интегрируемой дроби.
Интегрирование тригонометрических функций.
1. Интегралы вида 
, где 
рациональная функция от u и v.
Интегралы указанного вида сводятся к интегралам от рациональной функции новой переменной t с помощью подстановки 
, которую называют универсальной тригонометрической подстановкой. При этом используются формулы тригонометрии 
2. Подынтегральная функция 
удовлетворяет условию
или условию
.
Тогда можно использовать подстановку 
, 
или 
, 
соответственно.
3. Подынтегральная функция удовлетворяет условию 
. Это условие выполняется в частности для функций, содержащих только четные степени 
и 
В этом случае часто применяют замену переменной 
, где или 
, где .При этом, так как 
или 
,то 
. Функции и выражаются через t с помощью тригонометрических формул 
и 
.
4. Вычисление интегралов вида 
, где m и n целые числа.
В этом случае полезно пользоваться следующими правилами:
А) если m - нечетное положительное число, то вносим под знак дифференциала или, (что то же самое) делаем замену переменной . При этом число n может быть рациональной дробью. Аналогично, если n - нечетное положительное число, то вносим под знак дифференциала или применяем подстановку .
Б) если оба показателя m и n - четные положительные числа, то подынтегральную функцию преобразуют с помощью формул понижения степени: 
, 
и 
|
|
|
В) если число m+n является четным отрицательным числом, то можно сделать замену переменной или
Г) если степени m и n отрицательны, то часто бывает полезным уменьшить степени с помощью основного тригонометрического тождества.
5. При вычислении интегралов вида 
или 
где m - натуральное число, 
используют тригонометрические формулы 
или, соответственно, 
6. Интегралы вида 
, 
, 
.
Для вычисления интегралов указанного вида применяют тригонометрические формулы:
Метод замены переменной в неопределённом интеграле.
Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования (то есть подстановки). При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводящимся. Общих методов подбора подстановок не существует. Умение правильно определить подстановку приобретается практикой.
Пусть требуется вычислить интеграл 
Сделаем подстановку 
где 
— функция, имеющая непрерывную производную.
Тогда 
и на основании свойства инвариантности формулы интегрирования неопределенного интеграла получаем формулу интегрирования подстановкой:
Дата добавления: 2019-09-13; просмотров: 178; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!