Методика изучения целых чисел

⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 13Следующая ⇒

Изучение целых чисел в 5 классе открывает знакомство детей с натуральными числами. Далее эта тема подробно рассматривается в 6 классе.

Чтобы ввести понятие «целое число», вводятся понятия: «положительное число», нуль, «противоположное число», «целое число», и только после этого вводится определение целых чисел. Далее рассматривается понятие «модуль числа», сравнение целых чисел и операции над целыми числами и их свойства.

Положительные и отрицательные числа. Мотивацию введения отрицательных чисел можно осуществить через выполнение учащимися упражнений на движение в разные стороны от начала отсчета. В учебнике Н.Я. Виленкина учащимся предлагается решить задачу о белке, скачущей по дереву вверх и вниз, или используя модель термометра, или рассматривая проблемную ситуацию:

6 – 4 = 2;

6 – 6 = 0;

6 – 8 = ?

Можно прочитать детям сказку из учебника «Положительные и отрицательные числа в театре Буратино».

Задачи учителя:

- убедить учащихся в необходимости введения отрицательных чисел с помощью целесообразно подобранных задач,

- познакомить с математизированной формой введения новых чисел (вместо дерева – прямая, вместо дупла – начало отсчета);

- добиться осознания учащимися смысла новых чисел.

Важно познакомить учащихся с геометрическим изображением новых чисел на координатной прямой.

Положительные и отрицательные числа вводятся с помощью координатной прямой.

Учащимся предлагается выбрать точку О на прямой и принять ее за начало отсчета. Эта точка разбивает прямую на два дополнительных луча ОА и ОВ. Выбирается единичный отрезок. Положение каждой точки на прямой задается ее координатой. Чтобы отличать друг от друга координаты на этих лучах, условились ставить перед координатами на одном луче знак «+», а перед координатами на другом луче знак «-».

Необходимо ввести термины: начало отсчета, положительное направление прямой.

А -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 В

Определение. Числа со знаком «+» перед ними называются положительными, числа со знаком «-» перед ними называют отрицательными, число 0 не является ни положительным, ни отрицательным.

Противоположные числа. Чтобы ввести понятие противоположных чисел, рассматриваются точки, одинаково удаленные от точки О и находящиеся по разные стороны от нее. Чтобы попасть из точки О в эти точки, надо пройти одинаковое расстояние, но в противоположных направлениях.

Определение.Два числа, отличающиеся друг от друга только знаками, называются противоположными числами. Для каждого числа есть только одно число, противоположное ему. Число 0 противоположно самому себе.

После рассмотрения положительных, отрицательных и противоположных чисел дается определение целых чисел.

Учащиеся должны понимать, что знак «-» имеет в математике троякий смысл:

- знак действия – вычитание;

- знак числа;

- знак противоположности.

Важно, чтобы учащиеся понимали, что запись «-а» не обязательно означает отрицательное число.

Определение.Натуральные числа, противоположные им числа и нуль называют целыми числами.

Модуль числа. В 6 классе вводится понятие «модуль числа». Это понятие вводится геометрически: как расстояние. Но, в восьмом классе учащиеся знакомятся и с аналитической записью определения данного понятия:

При рассмотрении модуля числа используется понятие «координатная прямая».

Определение.Модулем числа а называют расстояние (в единичных отрезках) от начала координат до заданной точки.

Модуль числа 0 равен 0. Пишут:/0/=0. Модуль числа не может быть отрицательным. Для положительного числа и нуля он равен самому числу, а для отрицательного – противоположному числу. Противоположные числа имеют равные модули:/-а/=/а/.

Затем вводятся операции на множестве отрицательных чисел. Правила выполнения действий над положительными и отрицательными числами устанавливаются на основании содержательных задач (например, на определение изменения температуры в течении суток.) Математическая формулировка этих правил опирается на понятие «модуль числа».

Сравнение чисел.Любое отрицательное число меньше любого положительного числа. Из двух отрицательных чисел меньше то, модуль которого больше. Нуль больше любого отрицательного числа, но меньше любого положительного числа. На координатной прямой точка с большей координатой лежит правее точки с меньшей координатой.

Операции с целыми числами

Правило сложения отрицательных чисел. Чтобы сложить два отрицательных числа, надо:

– сложить их модули.

– поставить перед полученным числом знак «-»;

Пример -2 + (-3) = - (2 + 3) = -5.

Правило сложения чисел с разными знаками Чтобы сложить два числа с разными знаками, надо:

– поставить перед полученным числом знак того слагаемого, модуль которого больше;

– из большего модуля слагаемых вычесть меньший.

Пример 3+(-2)= +(3-2)=1;

-3+2=-(3-2)=-1.

Правило вычитания чисел. Чтобы из данного числа вычесть другое, надо к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому: а- b = a + (- b )

Замечание. Любое выражение, содержащее лишь знаки сложения и вычитания, можно рассматривать как сумму.

Пример -18 - 14= -18 + (-14).

Замечание Разность двух чисел положительна, если уменьшаемое больше вычитаемого, и отрицательна, если уменьшаемое меньше вычитаемого. Если уменьшаемое и вычитаемое равны, то их разность равна нулю.

Методическая схема введения правил умножения

1. Предложить решить задачу: «Температура изменялась в течение в суток на а градусов ежедневно. Как изменится температура через в суток?»

2. Провести решение данной задачи по аналогии с решением задачи: «За двое суток температура увеличится в 3 раза. Как изменится температура?»

3. Сформулируем задачу, если а = -2.Решение: (-2) + (-2) + (-2) = -6; (-2)*3 = -6. Вывод: Увеличение находим умножение на 3.

4. Решить задачу для случая в = -3: 2 * (-3) = -6; (-2) * (-3) = 6.

5. Высказать предположение, что произведение можно найти математическим способом.

6. Закрепить правило составления алгоритма записями, показывающими, как выбирать знак произведения и находить его модуль.

7. Осуществить переход к сокращенной записи.

Правило. Чтобы перемножить два числа с разными знаками, надо перемножить модули этих чисел и поставить перед полученным числом знак «-».

Пример (-2)*3= - (2*3)= - 6; 2*(-3)= - (2*3)= - 6.

Замечание. Произведение двух чисел с разными знаками есть число отрицательное. Модуль произведения этих чисел равен произведению их модулей.

Правило. Чтобы перемножить два отрицательных числа, надо перемножить их модули.

Пример: (-2)*(-3) = /-2/*/-3/ = 2*3 = 6.

Деление положительных и отрицательных чисел

Правило.Чтобы разделить отрицательное число на отрицательное, надо разделить модуль делимого на модуль делителя.

Пример: -4:(-2) = 4:2 = 2.

Правило. При делении чисел с разными знаками, надо:

– разделить модуль делимого на модуль делителя;

– поставить перед полученным числом знак «-»

Замечание 1. Обычно сначала определяют и записывают знак частного, а потом уже находят модуль частного.

Пример 4: (-2) = -(4:2) = -2.

Замечание 2. При делении нуля на любое число, не равное нулю, получается нуль. Делить на нуль нельзя!

Наиболее аккуратно знакомство учащихся с данными правилами проведено в учебнике Н.Я. Виленкина (1991год) через решение задачи

№ 1104:

1.Турист движется по шоссе со скоростью Vкм/час. Сейчас он находится в точке О (см. рис.) Если он движется в противоположном направлении, то его скорость считается положительной, а в отрицательном направлении – отрицательной. Значение t = -4 означает «4 часа тому назад». Где будет находиться турист через t часов?

Решите задачу при следующих значениях букв: а) V = 5, t = 4; б) V = - 5, t = 4; в) V = 5, t = -4; г) V = - 5, t = - 4.

-!-----!-----!-----!-----!-----!-----!-----!-----!---------------------км

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

2. Сформулировать подзадачи для случаев а),б), в), г).

3. Перевести каждую задачу на язык математики и решить, используя рисунок.

Решение: а) 5 *4 = 20; б) -5 * 4 = -20; в) 5 * (-4) = -20; г) -5 * (-4) = 20.

Тема «Отрицательные числа» имеет большое значение в математическом образовании школьников не только как звено (хорошо исполненное) в общей идее развития понятия числа, но и для обоснования отдельных приемов решения уравнений без использования теории равносильности. Стало возможным обоснование:

1)прибавления к обеим частям уравнения одного и того же числа;

2) переноса слагаемых из одной части уравнения в другую.

Действительные числа

В математике существуют различные построения теории действительного числа:

- по Дедекинду (построение действительного числа с помощью сечений на множестве рациональных чисел),

- по Вейерштрассу (представление действительного числа как бесконечного десятичного ряда),

- по Кантору (построение действительного числа с помощью фундаментальных последовательностей рациональных чисел)…

Но эти построения весьма сложны (не случайно в математике они оформились во второй половине 19 века).

Понятие «действительное число» (как и понятие «бесконечная десятичная дробь»), основные положения теории действительного числа вполне доступны учащимся 7 класса. В настоящее время существует тенденция более раннего изучения действительных чисел, что ускоряет создание цельной системы знаний учащихся о числе, облегчает потребности практики вычислений, позволяет строже изложить некоторые вопросы фундаментальной теории…

Понятие «иррациональное число» появляется в учебниках 8 класса.

Мотивация введения действительных чисел опирается на внутренние потребности математики, а не на практику. Учащиеся убеждаются в необходимости введения новых чисел при решении следующих задач:

- Решить уравнение: х² = 2.

- Найти отношение длины дуги окружности к ее диаметру.

- Найти сторону квадрата, если его площадь 3 см².

- Решить графически уравнение: х² = 3.

- К множеству каких чисел относятся числа 2, 56565…; 7,23233233…; 0, 123123412345…?

Определение иррационального числа дается через отрицание.

Пример: Алгебра – 8(С.А. Теляковский)

1) Доказывается, что «среди рациональных чисел нет такого числа, квадрат которого равен 2».

2) Вводится понятие «действительное число»: «Если к положительным бесконечным десятичным дробям присоединить противоположные им числа и нуль, то получим множество чисел, которые называют действительными числами».

3) Дается определение иррациональных чисел: «Каждую бесконечную десятичную периодическую дробь можно записать в виде отношения m /n, где m – целое число, n – натуральное число. Бесконечные десятичные непериодические дроби представляют числа, не являющиеся рациональными. Их называют иррациональными числами (приставка «ир» означает отрицание). Иррациональные числа нельзя представить в виде отношения m /n. Таким образом, множество действительных чисел состоит из рациональных и иррациональных чисел.».

4) Приводятся примеры иррациональных чисел.

5) Вводятся «действия» над числами. В школьном курсе действия с иррациональными числами сводятся к операциям с их рациональным приближениями по недостатку и по избытку[5].

Остановимся более подробно на методике изучения иррациональных чисел.

Рациональные и иррациональные числа

В 5 – 6 классах учащиеся познакомились с обыкновенными дробями. Перед изучением иррациональных чисел целесообразно обобщить эти знания и на новом уровне рассмотреть множество рациональных чисел Q.

В множестве натуральных чисел N операция деления имеет ограниченный характер: если а и в натуральные числа, то не всегда найдется натуральное число х такое, чтобы

ах = в (приведите примеры). Другими словами, в том случае, когда в не делится нацело на а, уравнение ах = в неразрешимо. Чтобы устранить это несовершенство, вводятся дроби, записываемые в виде отношения m / n, где m , n – натуральные числа. При этом число m называют числителем, а число n знаменателем дроби m / n. Вспомним правила действий с дробями:

(1)

Правило позволяет «сокращать» дробь на общий для числителя множитель. Например, . Как видим, равные дроби могут очень различаться по внешнему виду. (Убедитесь, что дроби и - равные дроби.) Натуральное число n можно считать частным случаем дроби, отождествляя его с .

Построенное расширение натурального ряда обозначим через Q⁺ - это положительные рациональные числа (от латинского ratio - отношение). Умножение в Q⁺ ассоциативно и коммутативно, уравнения вида ах = в, где а и в – любые числа из Q⁺, разрешимы (решением будет х = ). Следовательно, (Q⁺,^.) –коммутативная группа, это – мультипликативная группа положительных рациональных чисел (от латинского multiplication – умножение). Деление в ней осуществляется неограниченно.

Если ноль и отрицательные числа сначала появились как математические абстракции и лишь впоследствии нашли им содержательное толкование, то дроби были известны с древнейших времен:

- Распределение некоторого общего достояния на индивидуальные доли было повседневной практикой (см., например, в библейской книге Чисел стихи 25 – 46 главы 31).

- Другим видом деятельности, приводившим к дробям, были измерения: если, например, стандарт длины не укладывался между двумя данными точками целое число раз, приходилось прибегать к более мелким его частям[6]

Присоединяя к положительным рациональным числам противоположные им величины и ноль, получаем все множество рациональных чисел Q. Оно состоит, таким образом, из нуля, положительных и отрицательных целых чисел, положительных и отрицательных дробей. Сложение, умножение и деление в Q выполняются по формуле (1), вычитание осуществляется по правилу .

(Выполните действия с рациональными числами: , , - …. )

В множестве Q рациональных чисел все четыре арифметических операции выполняются беспрепятственно за одним досадным исключением: нельзя делить на ноль (один из доводов в пользу того, что 0 –«ненастоящее» число). Следовательно, в этом множестве разрешимы уравнения вида а + х = в при любых а, в и уравнения вида ах = в при всех а 0 и при всех в. Таким образом, множество Q является кольцом, а его ненулевые элементы образуют коммутативную группу по умножению. Кольца, обладающие этим свойством, называются полями.

Мы построили поле рациональных чисел (Q⁺,^.). Оно расширяет кольцо целых чисел (Z,⁺,^.), позволяя неограниченно выполнять операцию деления (кроме деления на ноль).

Поле рациональных чисел бесконечно, но существуют и конечные поля. Таковым будет, например, любое кольцо Z_p остатков от деления натуральных чисел на простое число p. Имея перед собой таблицу умножения поля Z₅, легко решить в нем уравнения

2х = 1, 3х = 4, 4х= 5. А вот в кольце Z ₆ эти уравнения не имеют корней.

В поле рациональных чисел разрешимо любое уравнение ах + в = 0,решением будет

х = - . Поле рациональных чисел всюду плотно, так как между любыми двумя рациональными числами r ₁ и r ₂ можно указать рациональное число ( r ₁₊ r ₂₎ :2 и даже бесконечное множество рациональных чисел.

Наглядное представление о рациональных числах дает координатная ось. На некоторой прямой линии выбирается точка 0 – начало отсчета, указывается единица масштаба, направление. Если дано положительное рациональное число ,то единица масштаба делится на n равных частей и вправо от нуля эта доля откладывается m раз. Полученная точка и есть изображение числа . Если число отрицательное – откладывание производят влево от нуля. Например,

-2/3 5/3

-----!--.--.---!--.--.--!--.--.--!--------->

-1 0 1 2

Построив числовое множество Q (поле рациональных чисел), в котором разрешимо любое линейное алгебраическое уравнение ах + в =о, естественно перейти к исследованию квадратных уравнений ах² + вх + с = 0. В простейшем случае х² – 1 = 0, т.е. х²= 1, имеет два решения (корня): х₁=1, х₂= -1. Однако уже следующий напрашивающийся шаг заводит нас в тупик.

Теорема 1. Уравнение х² = 2 не имеет решений в поле рациональных чисел.

Теорема 2. Диагональ квадрата несоизмерима с его стороной.

Необходимо самостоятельно познакомиться с доказательствами этих теорем, приводимыми авторами школьных учебников.

Рис. 1.

Теоремы 1 и 2 при всем внешнем несходстве представляют собой лишь разные интерпретации одного и того же математического факта: одна на языке алгебры, другая - в геометрических терминах. (В математике это обычное явление.) Обратимся теперь к координатной оси. Если взять на ней точки, соответствующие рациональным числам а и в (пусть а < в), то середина отрезка

выражается числом с = (а + в): 2. Это тоже рациональное число, так что между любыми двумя рациональными числами лежит еще одно. Деля пополам отрезки

, получим еще два рациональных числа между а и в и т.д. Поскольку этот процесс деления пополам (дихотомия) можно продолжать неограниченно, приходим к выводу, что между произвольными рациональными числами а и в находится бесконечно много других рациональных чисел. Представив себе все это, мы могли бы прийти к заключению, что рациональные числа заполняют сплошь числовую ось. Но нет – если от точки 0

отложить вправо диагональ единичного квадрата, то согласно теореме 2 другой конец диагонали не попадет ни в какую рациональную точку. (См. рис. 1) Аналогично строится точка

. Вот эти «дыры» на числовой прямой и были интерпретированы как иррациональные числа. (В словаре: «иррациональный – не постигаемый разумом, такой, который не может быть выражен в логических понятиях». Повседневный математический смысл проще: иррациональное число – это число, не являющееся рациональным.)

Иррациональных чисел тоже бесконечно много: если - иррациональное, а а – рациональное число, то сумма а и произведение а (при а ) тоже будет иррациональное число (иначе, например, оказалось бы рациональным).

Первый конкретный пример иррационального числа – это длина диагонали единичного квадрата, т.е. положительный корень уравнения х²= 2, обозначаемый через . Рассуждения, проведенные в доказательстве теоремы 1, могут быть дословно повторены и для уравнений х² = 3, х³ =5, что доказывает иррациональность чисел .

Изобразив действительные числа на координатной прямой, мы получим, что каждой точке координатной прямой соответствует действительное число (прямая без «дырок») и каждому действительному числу отвечает точка на прямой. Координатная прямая, на которой изображено множество действительных чисел, называется числовой прямой, поле действительных чисел стало непрерывным, то есть отношения и алгебраические операции с действительными числами сводятся к одноименным отношениям и операциям с их рациональными приближениями по недостатку и избытку.

После введения действительных чисел появилась возможность дать общую запись для решений любого квадратного уравнения ах² + вх + с = 0 с использованием радикала (знака извлечения корня), а именно х = или х = .

Если величина D = в²- 4ас (дискриминант) положительна, уравнение имеет два корня, рациональных или иррациональных в зависимости от того, является дискриминант полным квадратом или нет.

Золотым сечением называется деление отрезка длины 1 на две части, большая из которых х является средней пропорциональной величиной между всем отрезком и его меньшей частью 1 – х, то есть принцип золотого сечения (название ввел Леонардо да Винчи в конце 15 века) составлял, в частности, теоретическую основу архитектурных композиций классической древности и эпохи Возрождения. Для нахождения х необходимо решить квадратное уравнение х² + х – 1 = 0, откуда х = (отрицательный корень отбрасываем). Для нас иррациональность этого числа очевидна, в древности же она была установлена весьма сложным путем, а сам факт её существования произвел удручающее впечатление.

Пример квадратного уравнения возбудил надежду на то, что алгебраические уравнения и всех других, более высоких степеней, окажутся разрешимыми в радикалах, то есть корни можно будет выразить с помощью арифметических операций и извлечения корней. В середине 16 века итальянские математики Тарталья, Кардано и Феррари нашли подобные формулы для кубического уравнения четвертой степени. (Происходило это в атмосфере ожесточенной полемики о приоритете, с публичными состязаниями в решении соответствующих задач, проклятиями и покаяниями.) В почти три последующие столетия существенных продвижений в этом вопросе не было, и лишь в 1826 году норвежский математик Нильс Хенрик Абель (1802 – 1829) доказал, что для каждого натурального числа n>4 существует алгебраическое уравнение n степени с целыми коэффициентам, неразрешимыми в радикалах (например, х⁵ – 4х – 2 = 0). Окончательное решение проблемы, занимавшей умы лучших математиков, принадлежит французу Эваристу Галуа (1811 – 1832). Он ввел понятие группы и показал, что каждому алгебраическому уравнению соответствует некоторая группа, по свойствам которой и можно судить, разрешимо или нет уравнение в радикалах.

Н. Абель и Э. Галуа ушли из жизни совсем молодыми (первый скончался от туберкулеза, второй был убит на дуэли), их идеи не были должным образом восприняты современниками, но впоследствии оказали огромное влияние на развитие важнейших разделов математики. Имена этих выдающихся ученых носят многие математические объекты, например, абелевыми называются коммутативные группы, а конечные поля – полями Галуа.

Задания к лекции

1. Путь построения числового множества в науке отличается от соответствующего пути, принятого в школьной математике. Укажите эти отличия, вскройте их причины.

2. Проанализируйте методический подход к введению модуля числа, данный в учебниках математики Н.Я. Виленкина. Сравните этот подход с другими, встречающимися в методической и учебной литературе.

3. Познакомьтесь с операциями на множестве R и разработайте беседу для учащихся 9 класса на тему «Отношения и операции на множестве действительных чисел».

4.Подберите материал и наметьте план беседы для учащихся 9 класса о развитии понятия числа.

Указание 1. Большую роль в беседе следует отвести историческим сведениям о развитии понятия числа. 2. Постарайтесь аргументированно обосновать необходимость расширения числовых множеств, показывая при этом потребности практики и науки.

5. Сделайте обзор литературы, которая может быть использована а) учителем для проведения элективного курса по изучению комплексных чисел, б) учеником для самостоятельного чтения при изучении комплексных чисел.

Дата добавления: 2019-09-02; просмотров: 2090; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 1 2 3 456 7 8 9 10 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!