ТЕМА 5. МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ УРАВНЕНИЙ

В ОСНОВНОЙ ШКОЛЕ

При изучении линии уравнений с учащимися рассматриваются следующие вопросы:

-формирование понятий;

-взаимосвязь изучаемых понятий с другими линиями курса;

-общие и частные методы решения уравнений.

В процессе обучения раскрываются:

- прикладная направленность линии уравнений (при решении текстовых задач; в геометрии - при использовании метода координат; при построении моделей различных процессов и т. д.);

- теоретическая направленность (при изучении наиболее важных классов уравнений, изучении обобщенных понятий и методов и т. д.);

- направленность на установление связей с основными темами курса. Линия уравнений тесно связана с числовой и функциональной линиями. Они дополняют и обогащают друг друга. Так, например, потребность в решении нового класса уравнений способствовала введению нового числового множества и наоборот.

Различные трактовки общего понятия «уравнение»

В школьных учебниках встречаются следующие определения понятия «уравнение»:

1) Уравнение - это равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой.

2) Равенство с переменной называется уравнением, если надо найти значения переменной, при которых оно верно.

3) Равенство с переменной называется уравнением.

4) Равенство двух функций, g(x) = f(x), заданных на общей области их определения, называется уравнением.

5) Уравнение - это высказывательная форма (предикат) вида

а(х) = в(х)

Методические замечания

1 Правомерно говорить не о правильности или неправильности той или иной трактовки понятия «уравнение», а о педагогической целесообразности использования в данном классе той или иной трактовки.

2. В различных определениях используется переменная или неизвестное число. Переменная величина пробегает ряд значений, не выделяя ни одного из них. Неизвестное число представляет собой буквенное обозначение конкретного числа (поэтому удобно в текстовых задачах).

3. Родовое понятие для всех этих определений -равенство. Но известно еще одно понятие, которое определяется как особый вид равенства - это тождество, школьное определение которого – равенство, верное при всех допустимых значениях переменной.

В связи с этим, в методической литературе встречаются различные точки зрения на связь между двумя понятиями.

1-я точка зрения: уравнение – частный случай тождества (Тождество – это равенство, верное при всех …, а уравнение – это равенство, верное не при всех …)

2-я точка зрения: тождество - частный случай уравнения (Тождество – это уравнение, множество решений которого все допустимые значения переменной; тогда линейное уравнение ах = в при а = 0 и в = 0 становится тождеством)

3-я точка зрения: уравнение и тождество - независимые понятия.

Правомерна лишь третья точка зрения, что обосновывается правильным, с позиции математической логики, пониманием знака равенства. В тождестве равенство - это синоним отношения эквивалентности со всеми его свойствами: рефлексивности, симметричностью и транзитивностью. В силу последнего свойства в тождественных преобразованиях мы пишем цепочку равенств, поэтому для обозначения тождества иногда используют специальный знак: « »

В уравнении равенство - это синтаксическое образование, которое может быть либо истинным, либо ложным, то есть можно говорить об условном равенстве, так как уравнение - это суждение о равенстве 2-х функций, а суждение может быть либо истинным, либо ложным. Поэтому вуравнениях запрещаются преобразования цепочкой и недопустима запись х_1,2 = (-в± )/2а.

Процесс решения уравнения

Процесс решения уравнения чаще всего состоит в замене данного уравнения равносильным ему уравнением или равносильной ему конъюнкцией или дизъюнкцией предложений до тех пор, пока не придут к уравнению вида х = а (1) или дизъюнкции таких уравнений: х =a₁v x=a₂v ... vx=a_n (2). Тогда множеством решений уравнения будет {а₁,а₂, ... а_n}. При этом уравнение (1) называется равносильным уравнению (2), если они заданы на общей области их определения и множества их решений совпадают.

При замене уравнения равносильным ему обычно опираются на следующие основные теоремы равносильности[7]:

Теорема 1. Уравнения f(х) = Ψ(х) и f(х) + g(x) = Ψ(x)+ g(x) равносильны, если они имеют одну и ту же область определения.

Теорема 2. Уравнения f(x) = Ψ(х) и f(x) * g(x) = Ψ(х) * g(x) равносильны, если они имеют одну и ту же область определения и предложение g истинно во всей области определения уравнения.

Традиционный способ решения уравнений, опирающийся на понятие равносильных уравнений логически строен и не требует проверки решения уравнения.

Однако не всегда целесообразно стремиться к получению уравнения, равносильного данному: можно идти по пути получения следствия данного уравнения f(x) = Ψ(х) (1). Уравнение f₁(x) = Ψ₁(х) (2) называется следствием уравнения (1), если каждое решение уравнения (1) является решением уравнения (2). В этом случае уравнение (2) может иметь решения, не удовлетворяющее уравнению (1), что может привести к появлению посторонних решений. Поэтому необходима проверка полученных корней.

Нередко в практике работы учителей логическое следование применяется как прием, упрощающий процесс решения, если сохранение равносильности может быть достигнуто сравнительно дорогой ценой.

Выделим три основных типа преобразования уравнений:

1) Преобразование одной из частей уравнения. Основой таких преобразований являются тождественные преобразования. Например, раскрытие скобок, приведение подобных членов и т. д.

2) Согласованные преобразования обеих частей уравнения. Это прибавление к обеим частям уравнения одного и того же выражения, умножение (деление) обеих частей уравнения на одно и то же выражение, переход от уравнения а=в к уравнению f ( a ) = f (в), где f - некоторая функция, или обратный переход.

3) Преобразование логической структуры уравнения. Наиболее важными для школьного курса преобразованиями логической структуры являются следующие:

– переход от уравнения а² + в² = 0 к системе а² = 0 и в²= 0;

– переход от уравнения а*в = 0 к совокупности а = 0 или в = 0;

– переход от уравнения а/в = 0 к системе а = 0 и в = 0;

– переход от системы уравнений к одному уравнению посредством почленного сложения, вычитания, умножения или деления уравнений, входящих в систему.

К преобразованиям 3 типа относится и замена переменных. В простейшем случае она состоит в переходе от уравнения

F( f(x)) = 0 к системе F (у) = 0 и у = f(х). Так решаются биквадратные уравнения, многие типы иррациональных уравнений и др.

Если в процессе этих преобразований не следить за областями определения получаемых уравнений, то может произойти как потеря корней, так и приобретение посторонних корней

Так, к приобретению посторонних корнеймогут привести такие преобразования, как приведение подобных членов, освобождение уравнения от знаменателя, возведение обеих его частей в степень и др.

К потере корнеймогут привести следующие преобразования: извлечение корня четной степени из обеих частей уравнения, логарифмирование обеих частей уравнения и др. Умножение или деление его обеих частей на функцию может привести как к потере корней, так и к приобретению посторонних корней.

Пример. Разделив обе части уравнения (х² + 2х) = 3 на , получим уравнение х² + 2х - 3 =0, имеющее корни х = -3 или х = 1. При таком «решении» приобретен посторонний корень х = - 3 и потерян корень х = 0 исходного уравнения. Поэтому уравнения вида Ψ(х)f(х) = Ψ(x)g(x) необходимо решать следующим образом:

1. Перепишем его в виде: Ψ(х)(f(х)- g(x)) = 0;

2. Данное уравнение равносильно совокупности уравнений Ψ(х)= 0 или f(x)-g(x) = 0.

5.3. Основные этапы изучения уравнений в основной школе

В школьном курсе математики учащиеся сталкиваются с понятием уравнения на протяжении всего обучения. В зависимости от класса меняется как способ решения уравнения, так и его обоснование.

Впервые с уравнением учащиеся встречаются в начальной школе. Уравнения решаются подбором или с использованием правил нахождения неизвестных компонентов арифметических действий.

С 5 класса начинается систематическое изучение уравнений. Изучение уравнений в 5-6 классах имеет ряд отличительных особенностей: с одной стороны они рассматриваются как самостоятельные понятия, с другой стороны - используются как служебные единицы для решения текстовых задач и формирования вычислительных навыков.

Метод введения понятия - конкретно-индуктивный.

Этапы введения понятия

Реализация этапов

1. Отыскание ярких практических примеров, показывающих целесообразность данного понятия 2.Выявление существенных и несущественных признаков данного понятия, введение термина 3.Формулируется определение. Первичное (учащиеся); четкое определение(учитель); повторение определения (учащиеся) 4. Иллюстрация понятия конкретными примерами, модели понятия 5. Другие возможные определения

В учебнике Н.Я. Виленкина введение понятия уравнение начинается с задачи: На одной чашке весов находится арбуз и гиря в 6кг., а на другой - гиря в 15 кг. Весы находятся в равновесии. Найти массу арбуза. Математическая модель ситуации задачи : х + 6 = 15 Существенные признаки: равенство, содержит переменную Несущественные: в какой части стоит переменная, какой буквой обозначается Уравнение - это равенство, содержащее букву, значение которой надо найти. Задания типа: Какие из выражений являются уравнениями: «2 + 3 = 5; 2 + х = 8; 5>3; а+8; 5в-3=2 и т.д.?» Учащиеся могут предложить ответ: «Равенство, в котором есть неизвестное число и др.»

В 5-м классе уравнения решаются на множестве натуральных чисел. Как и в начальной школе - основной способ решения - на основании зависимости между результатами действий и их компонентами. Поэтому в 5-м классе рассматриваются 6 простейших видов уравнений: а + х = в; а - х = в; х - а = в; х*а = в; х : а = в; а : х = в .

Образец рассуждений при решении уравнения (7 + х) - 15 = 21 (5 кл.)

1. Неизвестная буква входит в уменьшаемое. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое необходимо к разности прибавить вычитаемое:

7 + х = 21 + 15;

7 + х = 36.

2. Теперь неизвестное входит в слагаемое. Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое: х = 36 - 7; х = 29.

С введением десятичных дробей учащиеся решают задачи на новом числовом множестве: (8,5 -у) * 7,2 = 37,44 и др. После упрощения выражений вида 5х

+ 7х на основе распределительного закона решаются уравнения, в которых требуются такие преобразования: (27х - 16х) : 11 = 3 и др. При решении таких уравнений отрабатываются навыки выполнения тождественных преобразований.

В процессе работы над понятиями «уравнение», «корень уравнения» полезно включать задания творческого характера. Например: «составить уравнение, корнем которого было бы число 5» или «какое число можно подставить в уравнение 2х + * = 15 вместо *, чтобы число 6 было его корнем?»

В 6-м классе уравнения решаются на множествах Z и Q. Неизвестное может находиться в обеих частях уравнения. Появляются уравнения с модулем.

Для обоснования возможности переноса членов уравнения из одной части в другую используются свойство противоположных чисел (а + (-а) = 0) и весы: На левой чаше весов лежат арбуз и гиря в 6 кг, а на правой - 15кг. Весы находятся в равновесии. Чему равна масса арбуза? Математическая модель ситуации: х + 6 = 15. Чтобы найти массу арбуза, снимем с левой чаши весов гирю в 6 кг, а чтобы не нарушать равновесия, необходимо снять 6 кг и с правой чашки :х + 6 – 6 = 15 - 6, то есть х = 15 - 6. Можно сказать, что мы слагаемое 6 перенесли из одной части уравнения в другую с противоположным знаком. Воспользоваться весами для решения уравнения х - 5 = 9 уже нельзя. Воспользуемся свойством противоположных чисел: х-5 +5=9 + 5... .Затем рассматриваем уравнение 5х = 2х + 6 . Решаем аналогично. После этого формулируется правило: слагаемые можно переносить из одной части уравнения в другую, изменяя при этом их знаки. В этом же пункте учащиеся узнают, что корни уравнения не изменяются, если обе его части умножить или разделить на одно и тоже число, не равное нулю.

В 7 классе вводится понятие равносильности. При решении уравнений используются свойства равносильности (1 и 2).

Основное внимание уделяется решению линейных уравнений с одной переменной. Естественно, что их учащиеся уже решали в 5 - 6 классах. Поэтому в курсе алгебры 7 класса знания обобщаются, проводится исследование линейного уравнения ах + в = 0 в зависимости от параметров а и в: ах = - в

– при а - уравнение имеет единственное решение х = - в/а;

– при а = 0, в 0 - уравнение не имеет решений;

– при а = 0, в = 0 - уравнение примет вид 0х = 0, х - любое число.

При изучении темы «Многочлены» учащиеся используют разложение на множители для решения уравнений вида: ах² +вх = 0;

х²-а² = 0; х² + 7х + 6 = 0

(х² + 6х + х + 6 = 0; х(х + 6) + (х + 6) = 0; (х + 6)(х + 1) = 0 =>х = -6 или

х = - 1).

В 7-м классе рассматривается еще одно важное понятие «уравнение с двумя переменными» и вводится понятие «система линейных уравнений»

В 8-м классе изучаются квадратные уравнения и уравнения, содержащие переменную в знаменателе.

В учебнике определение квадратного уравнения вводится явно. «Уравнение вида ах² + вх + с = 0, где а 0 называется квадратным уравнением». Желательно к этому определению подойти через конкретные задачи. Формулы корней квадратного уравнения необходимо вывести, используя выделение полного квадрата в трехчлене ах² + вх + с и сводящее уравнение к двучлену, а не давать учащимся в готовом виде. При этом учащиеся должны твердо усвоить, что дискриминант («различитель») позволяет узнать: есть ли корни у уравнения, а если есть, то сколько их. Кроме того, необходимо научить учащихся использовать формулу для случая, если в - четное, а также формулу корней приведенного квадратного уравнения.

Учащиеся должны владеть различными способами решения полного квадратного уравнения:

– Способ выделения полного квадрата.

– Через дискриминант по формуле корней.

– По теореме, обратной теореме Виета.

– Графическим способом.

Кроме того, учащиеся должны уметь решать неполные квадратные уравнения.

Для решения уравнений, содержащих переменную в знаменателе дроби, учащимся могут быть предложены два способа:

1 способ основан на использовании равенства дроби нулю:

2 способ опирается на условие равенства дробей с одинаковыми знаменателями:

В 9-м классе решаются дробно-рациональные, биквадратные уравнения. Рассматриваются графические способы решения уравнений с одной переменной, как один из примеров приближенного решения уравнений.

Графический способ решения уравнений состоит в следующем: «Дано уравнение f(x) = g(x). Строим в одной системе координат графики у = f(x) и у = g ( x ). Отыскиваем абсциссы точек пересечения».

Возможность применения графического способа решения весьма ограничена, так как ограничен запас графиков функций, которые ученики могут строить, и степень точности нахождения корней. Кроме того, приходится подбирать такие графики, чтобы точки пересечения были в пределах рисунка.

Однако графический способ имеет и определенные преимущества: позволяет рассматривать решения таких уравнений, которые учащиеся на данном этапе не могут решить аналитическим способом. Даже если корни являются числами большими по модулю, то с помощью схематических рисунков удается установить число корней, их знаки, вычленить те отрезки числовой оси, где эти корни могут находиться. Эти исследования полезны для подготовки к изучению функций.

Использование графического способа полезно и в устной работе с учащимися.

Пример. Выяснить, сколько корней имеет уравнение и определить их знаки: х² = - 6х; - Зх² = -10/х; х⁴ = х + 13; = -Зх и др.

Прикладная направленность линии уравнений раскрывается главным образом при изучении алгебраического способа решения сюжетных задач. Этот метод широко применяется в школьной математике, поскольку он связан с обучением приемам, широко применяемым в приложениях математики.

В настоящее время, ведущее положение в приложениях математики занимает математическое моделирование, включающее в себя: 1) построение модели, 2)исследование модели, 3)анализ полученных результатов и перенос их на объект изучения.

В методике обучения математике выделены четыре основных этапа процесса решения математической задачи:

– осмысление текста задачи и анализ ее содержания;

– осуществление поиска решения и составления плана решения;

– реализация плана решения;

– анализ найденного решения, поиск других способов решения.

При работе с сюжетной задачей на первом этапе предполагается первоначальная работа с целью понимания сюжета, выявления величин, которыми описывается ситуация, установление различных зависимостей между этими величинами, определение отношений, заданных условием задачи. Результаты такого предварительного анализа часто бывает удобно зафиксировать в схематической записи («краткой модели») текста задачи.

Второй этап работы над задачей является самым трудным для учащихся. Его результатом должна служить математическая модель ситуации. При решении задачи алгебраическим методом - это уравнение или система уравнений.

Третий этап предполагает исследование математической модели (решение уравнения или системы); перенос результатов исследования математической модели в заданную ситуацию; запись ответа.

На четвертом этапе работы с сюжетной задачей можно предложить другие варианты решения (другое уравнение или систему, арифметический способ решения).

Мы видим, что процесс решения сюжетной задачи - это теоретической исследование, представляющее собой процесс математического моделирования.

Решение сюжетных задач с помощью уравнений - один из центральных вопросов методики алгебры. Выделим некоторые его аспекты: «Как научить учащихся составлять уравнение по тексту задачи? », «Какие при этом возможны эвристические схемы рассуждения?»; «Как кратко записать задачу?»; «Как использовать графические иллюстрации?»; «Как провести подготовительную работу по решению задач методом уравнений?»; «Нужна ли проверка при решении сюжетных задач?». Эти вопросы исследовали ученые-методисты, учителя (Д. Пойа, Л.М. Фридман, В.П. Радченко и др.)

Предложим некоторые эвристические «правила», помогающие составлять уравнение по тексту задачи.

Правило Коши: для того, чтобы составить уравнение, надо обозначить неизвестное буквой, например х, и произвести с ним и с данными величинами все вычисления, которые выполняются при проверке правильности решения. Именно так ведется поиск решения сюжетной задачи с помощью анализа Евклида.

Правило Ньютона: для составления уравнения нужно условие задачи перевести с естественного на алгебраический язык.

Правило сравнения: необходимо составить два разных алгебраических выражения для одной и той же величины и поставить между ними знак равенства.

Каждое из этих правил с определенной стороны характеризует процесс составления уравнения по условию задачи. Но применять их ученику, который не умеет составлять уравнения, довольно трудно. Поэтому полезно сообщить ему эти правила на более позднем этапе обучения методу составления уравнений.

Приложение 1

Мест o уравнений и неравенств в школьной программе

Этап	Класс	Темы программы
Пропедевтический (начальная школа и курс математики 5-6 классов основной школы)	1 -4 5 6	Обозначение неизвестных компонентов действий через переменную и отыскание их на основе свойств действий. В теме 1. Натуральные числа. Сложение и вычитание натуральных чисел. Решение линейных уравнений на основе зависимости между компонентами действий (сложение и вычитание). В теме 2. Умножение и деление натуральных чисел. Решение линейных уравнений на основе зависимостей между компонентами (умножения и деления). В теме 6. Действия с рациональными числами. Общие приемы решения линейных уравнений с помощью простейших преобразований выражений. Составление уравнения для решения текстовых задач.
Основной (курс алгебры 7-9 классов основной школы)	7 8 9	1. Уравнения. Основные понятия, линейное уравнение с одним неизвестным. Решение задач методом уравнений. 6. Системы линейных уравнений. Решение задач методом составления систем уравнений. 3. Квадратные уравнения. Решение рациональных уравнений. Решение задач, приводящих к квадратным и рациональным уравнениям. В теме 4. Неравенства. Линейное неравенство с одной переменной. Система линейных неравенств с одной переменной. В теме 1. Квадратичная функция. Решение неравенств второй степени с одной переменной. Решение рациональных неравенств методом интервалов. 2. Уравнения и системы уравнений. Целое уравнение и его корни. Решение уравнений 3-й и 4-й степени с одним неизвестным с помощью разложения на множители и введения вспомогательной переменной. Уравнение с двумя переменными и его график. Решение систем уравнений 2-й степени с двумя переменными. Решение текстовых задач методом составления систем.

Приложение 2

Знания и умения учащихся по теме «Уравнения»

Общие категории целей	I уровень	II уровень	III уровень
Знание	Ученик знает
Запоминание и воспроизведение изученного материала	Общие и специальные термины, обозначающие виды уравнений и неравенств и процесс их решения, формулы и алгоритмы решения простейших уравнений, неравенств и их систем и их запись, частные приемы решения текстовых задач с помощью уравнений.	Определения видов уравнений и неравенств, формулировки их общих и различных свойств, общие методы и обобщенные приемы их решения и проверки, способы записи, общий прием решения текстовых задач методом уравнений.	Обоснование методов и приемов решения уравнений, неравенств, их систем и совокупностей, общие, специальные и искусственные приемы их решения и решения задач методом уравнений и неравенств, приемы их переноса.
Понимание	Ученик
Готовность к преобразованию изученного из одной формы в другую, к его интерпретации	Правильно воспроизводит термины, формулировки формул, правил, алгоритмов и частных приемов решения простейших уравнений и неравенств, формулировку задач «решить уравнение».	Интерпретирует методы и приемы решения уравнений, неравенств и систем, используя блок-схемы, графики, числовую ось, приводит контрпримеры, подводит уравнение к тексту задачи.	Имеет представление об уравнениях и неравенствах как моделях разнообразных задач, выделяет идеи обобщенных методов и приемов их решения и связи между ними.

Дата добавления: 2019-09-02; просмотров: 5191; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 2 3 4 5 678 9 10 11 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!