Основной этап (Алгебра 7 – 9 кл.)
7 класс. Теория неравенств находит применение при проведении исследования функций: определения области определения и области значений функций; построения графиков не на естественных, а на ограниченных областях; влияния знаков параметра на расположение графиков в координатной плоскости (у = кх…), выяснения свойств функций…
Учащиеся должны усвоить, что неравенства являются средством перебора логических возможностей решения задач и построения функций.
Изучение неравенств является подготовительным этапом к решению систем неравенств и задач линейного программирования.
8 класс Главный упор делается на тему «Числовые неравенства и их
свойства», которые являются базой для
- решения неравенств с одной переменной;
- обоснования двух методов приближенных вычислений: метода границ и практических методов;
- выявления видов функционирования неравенств…
В учебнике С.А. Теляковского данная тема изложена в трех пунктах (П.27. Числовые неравенства. П.28. Свойства числовых неравенств. П.29. Сложение и умножение числовых неравенств), а операция сравнения введена следующим образом:
Мы будем считать, что положительное направление задано слева направо. Перемещению по координатной прямой вправо от точки b соответствует прибавление к числу b положительного числа.
Для любых двух действительных чисел а и в определена операция сравнения, результатом которой является одно из трех утверждений: число а больше числа в; число а равно числу в; число а меньше числа в.
|
|
Мы можем сравнить любые числа а и b и результат сравнения записать в виде равенства или неравенства, используя знаки =, <, >. Для произвольных чисел а и b выполняется одно и только одно из соотношений: а = в, а< b, a> b.
Определение. Из двух чисел а и в меньшим является то, которому соответствует на координатной прямой точка, лежащая левее. Число а равно числу в, если им соответствует одна точка.
На координатной прямой большее число изображается точкой, лежащей правее, а меньшее – точкой, лежащей левее.
Пример
1.Сравним десятичные дроби 3,6748 и 3,675. Цифры в разрядах единиц, десятых и сотых совпадают, а в разряде тысячных в первой дроби записана цифра 4, а во второй – цифра 5.
Так как 4<5, то 3,6748 < 3,675.
2.Сравним отрицательные числа -15 и – 23. Модуль первого числа меньше модуля второго. Значит, первое число больше второго, т.е. -15 > -23.
3.Сравним обыкновенные дроби 5/8 и 4/7.Для этого приведём их к общему знаменателю:
5/8=35/56; 4/7=32/56
Так как 35>32, то 5/8>4/7.
В зависимости от конкретного вида чисел мы использовали тот или иной способ сравнения. Однако удобно иметь такой способ сравнения чисел, который охватывает все случаи. Он заключается в том, что составляют разность чисел и выясняют, является ли она положительным числом, отрицательным числом или нулем. Этот способ сравнения чисел основан на следующем определении.
|
|
Определение Число а больше числа b, если разность а – b- положительное число; число а меньше числа b, если разность а – b- отрицательное число.
Заметим, что если разность а – b равна нулю, то числа а и b равны.
Доказательство Пусть а и b некоторые числа, причём а> b, то есть число а находится правее числа b. Перемещению по координатной прямой вправо от точки b соответствует прибавление к числу b положительного числа. Значит, с – положительное число. Следовательно, а – b = c, т.е. а – b>0.
В учебнике А. Г. Мордковича вводятся следующие свойства числовых неравенств:
1) a>b, b>c => a>c
2) a>b => a+c>b+c
3) a>b, m>0 => am>bm, a>b, m<0 => am<bm
4) a>b, c>d => a+d>b+d
5) a, b, c, d>0, a>b; c>d => ac>bd
6) a, b≥0, a>b => an>bn, nÎN
и рассматриваются теоремы, выражающие свойства числовых неравенств.
Свойство 1 Если а> b и b> c, то a> c.
По условию, а> b, т.е. а – b – положительное число. Так как b> c, то b- c – положительное число.
Сложив положительные числа а – b и b – c получим положительное число.
|
|
Имеем (а – b)+( b – c)= a – c. Значит a – c – положительное число, т.е. a> c.
Свойство 1 можно обосновать, используя геометрическую модель множества действительных чисел, т.е. числовую прямую. Неравенство а> b означает, что на числовой прямой точка а расположена правее точки b, а неравенство b> c –что точка b расположена правее точки с. Но тогда точка а расположена на прямой правее точки с, т.е. a> c.
Свойство 1 называют свойством транзитивности.
Свойство 2 Если а> b, то а + c > b+ c.
Преобразуем разность (а + c) - ( b+ c):
(а + c) - ( b+ c) = а- b
По условию а> b, поэтому а- b – положительное число. Значит, и разность (а + c) - ( b+ c) положительна. Следовательно, а + c > b+ c.
Итак, если к обеим частям верного неравенства прибавить одно и то же число, то получится верное неравенство.
Свойство 3 Если a> b и m>0, то am > bm;
Если a> b и m<0, то am < bm.
Смысл свойства 3 заключается в следующем:
· Если обе части неравенства умножить на одно и то же положительное число, то знак неравенства следует сохранить;
· Если обе части неравенства умножить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства следует изменить (< на >, > на <).
|
|
То же относится к делению обеих частей неравенства на одно и то же положительное или отрицательное число m, поскольку деление на m всегда можно заменить умножением на 1/ m.
Из свойства 3, в частности, следует, что, умножив обе части неравенства a> b на -1, получим – a< - b.
Это значит, что если изменить знаки у обеих частей неравенства, то надо изменить и знак неравенства:
если a>b, то – a< -b.
Следствие Если a и b – положительные числа и a> b, то 1/а<1/ b.
Разделим обе части неравенства a> b на положительное число ab: a/ ab > b/ ab. Сократив дроби, получим, что
1/ b>1/ a, 1/ a<1/ b.
Знание свойств числовых неравенств помогает работать при исследовании функций. (С неравенствами связаны такие известные свойства функций, как наибольшее и наименьшее значения функции на некотором промежутке: ограниченность функции снизу и сверху; свойство возрастания и убывания функции.) Числовые неравенства используются при решении текстовых задач, при решении квадратных неравенств.
Важно выработать у учащихся прочный навык почленного вычитания, деления и умножения числовых неравенств.
Дано: 15< x<16, 2< y<3. Оценить сумму x+ y, разность х – у, произведение ху, частное х/у.
Сумма х + у
15<x<16
2<y<3
17< x + y <19,
разность x- y, представим разность в виде суммы x +(-y), -2>-y>-3, то, есть -3<-y<-2
15<x<16
-3<-y<-2
12<x-y<14,
произведение xy 15<x<16
2< y<3
30<xy<48,
частное x/ y, представим частное в виде произведения x*1/ y.
Так как 2<y<3, то ½>1/y>1/3 , то есть 1/3<1/y<1/2.
15<x<16
1/3<1/y<1/2
5<x/y<8.
У учащихся следует выработать навыки решения следующих видов задач:
· Сравнить два числа.
· Задачи на оценку (оценить произведение двух чисел, сумму двух чисел, их разность, возведение в степень числа, оценить обратное ему число.)
· Задачи на доказательство. (1. Пусть а и b- положительные числа и a > b . Доказать, что 1/а<1/в. 2. Пусть а – положительное число. Доказать, что
a +1/ a 2.)
В 8 классе изучаются темы «Линейные неравенства с одной переменной», «Системы неравенств с одним неизвестным». При решении линейных неравенств с одной переменной полезно ознакомить учащихся с алгоритмом его решения (см. Прил. 4)
Материал этих тем находит применение при решении нелинейных неравенств типа: (ax +b)(cx +d)<0; .
Решение неравенств вида |х – а| < 0, |х – а| > 0 готовит учащихся к изучению курса анализа.
В учебнике Г.В. Дорофеева учащиеся знакомятся с методом доказательства неравенств по определению. По другим учебникам знакомство учащихся с приемами доказательства неравенств не предусмотрено.
Все приобретенные учащимися навыки находят применение при изучении тем «Решение квадратных неравенств» и «Действительные числа». (Замечание: в некоторых учебника этот материал изучается в 9 классе.)
Учащиеся, по крайней мере, должны знать 3 способа решения квадратных неравенств:
1. Опираясь на разложение квадратного трехчлена на множители, построить эскиз графика квадратного трехчлена и записать ответ (см. Прил.5).
2. Опираясь на разложение квадратного трехчлена на множители, использовать метод интервалов.
3. Графический метод решения неравенства: ах2 + вх +с>0 ах2 > - вх – с.
9 класс Формируется навык проведения равносильных преобразований неравенств.
В учебнике А.Г.Мордковича в теме «Рациональные неравенства» вводится определение рационального неравенства.
Определение Рациональным неравенством с одной переменной x называется неравенство вида h( x)> q( x), где h( x) и q( x) рациональные выражения, т.е. алгебраические выражения, составленные из чисел и переменной x с помощью операции сложение, вычитание, умножение, деление.
В главе «Рациональные неравенства и их системы, линейные и квадратные неравенства» предполагается знакомство учащихся с методом интервалов и использование этого метода при решении неравенств вида: < 3, >0.
При изучении темы «Системы неравенств» учащимся можно предложить решить задачу: «Найти область определения выражения » методом составления системы неравенств.
Дополнительный материал:
1. «Сводная карта изучения неравенств в школе» (Г. «Математика» № 32 1998г.).
2. Задача, на примере которой можно продемонстрировать учащимся роль неравенств в жизни.
Две реки имеют одинаковую длину l км. Скорости рек различны: v1 , v2, причем v 1> v2 Докажите, что вторая река выгоднее по эксплуатации пароходами (товарные перевозки на реках примерно одинаковы, а скорость движения пароходов равна v км/ч.)
Решение. t1 = + ; t2 = + ; >
При решении этой задачи у учащихся могут возникнуть трудности трех видов:
- математические:
- умение актуализировать знания по решению неравенств;
- умение обнаружить структуру задачи;
- психологические:
- переход от реальной ситуации к модели;
- отбор наибольших и наименьших значений;
- методические:
- умение критически осмыслить результат задачи.
3. Задача, на примере которой можно продемонстрировать методику использования метода оценки.
Задача Сумма в 95 копеек составлена из пятикопеечных и десятикопеечных монет общим числом не более 14. Если все десятикопеечные монеты заменить пятачками, все пятачки десятикопеечными монетами, общая сумма уменьшится более чем в 1,5 раза. Сколько пятачков и десятикопеечных монет было первоначально.
Решение. Пусть n и m - количества пятикопеечных и десятикопеечных монет. Условие задачи приводит к системе
5n + 10m = 95, n +m = 19, m + 19 – 2m 14, m 5,
m +n 14, m + n 14, 6 (19 – 2m) + 3m 38, 9m 76,
1,5(10n + 5m) 95. 6n + 3m 38. m 9. m 9.
Единственное натуральное число, удовлетворяющее системе, - это m = 9.
Ответ: 1 пятикопеечная и 9 десятикопеечных монет.
Приложение 1
«Неравенства» в курсе математики средней школы
Приложение 2
Диаграмма «Место темы «Неравенства» в курсе математики средней школы»
(критерий – количество упражнений по теме «Неравенства»)
класс | Процентное отношение количества упражнений, связанных с темой «Неравенства» |
Начальные классы | 2% |
5 класс | 4%(М-5/ под ред. Н.Я Виленкина) |
6 класс | 5%(М-6/ под ред. Н.Я Виленкина) |
7 класс | 5%(М-7/ под ред. С.А. Теляковского) |
8 класс | 17%(М-8/ под ред. С.А. Теляковского) |
9 класс | 14%(М-9/ под ред. С.А. Теляковского) |
Приложение 3
Приложение 4
Приложение5
|
Дата добавления: 2019-09-02; просмотров: 1190; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!