Купили n карандашей по 3 рубля. Сколько заплатили за покупку?

Обозначим буквой Р стоимость покупки в рублях, тогда Р = 3 n.Формула задает функцию Р, значения которой равны произведению соответствующих значений аргумента n и числа 3. В этой задаче аргумент n может принимать только натуральные значения.

Общим для рассмотренных задач является то, что значения функции в каждой из них получаются умножением соответствующих им значений аргумента на число, отличное от нуля. Обозначим это число буквой к, а аргумент и функцию, как это принято в математике, буквами х и у. Получим общий вид рассматриваемых функций: у = кх, где к – число, отличное от нуля. Возьмем два отличных от нуля значения аргумента: х_1, х₂. Соответствующие им значения функции: у₁ = к х₁, у₂ = к х₂. Из этих равенств получаем к = , к = . Значит,  = .

Таким образом, любые две пары соответствующих друг другу значений переменных х и у составляют верную пропорцию. Такие переменные называются пропорциональными. Число к в формуле у = кх называют коэффициентом пропорциональности.

Графиком функции у = кх, где к – некоторое число, является прямая, проходящая через начало координат.

Зная, что график функции у = кх – прямая, мы можем его построить, не составляя подробной таблицы. Для построения прямой достаточно знать две ее точки: одна из них – начало координат.

Значения функции у = 0х (к = 0) при всех значениях х равны нулю, значит, график этой функции совпадает с осью абсцисс.

От коэффициента к зависит угол, образованный в верхней полуплоскости графиком

 у = кх. Коэффициент к называют угловым коэффициентом прямой у = кх.

Изучение темы «Линейная функция» начинается с рассмотрения конкретной задачи.

Задача. При отправлении телеграммы взимается плата 5 руб. за каждое слово и дополнительно - 20 рублей. Сколько рублей ( n) следует уплатить за телеграмму, содержащую m слов?

Решение. Так как за m слов отправитель должен заплатить 5 m рублей, то стоимость телеграммы в m слов равна 5 m + 20 рублей: n = 5 m + 20.

Например, если m = 15, то n = 95, если m = 27, то n = 155.

В обеих задачах мы встречались с функциями, заданными формулами вида у = кх + l, где к и l – некоторые числа, а у и х – переменные. В первой задаче к = 5, l = 20. Во второй к = -10, l = 45.

Определение. Функция, заданная формулой вида у = кх + l, где к и l – некоторые числа, называется линейной.

Рассматриваемая нами ранее функция у = кх является частным случаем линейной функции, так как при l = 0, формула примет вид у = кх.

Доказательство некоторых свойств линейной функции

Свойство знакопостоянства функции

а) Если а = 0, функция принимает постоянное значение и, следовательно, не меняет своего знака на всей области определения.

б) Если а > 0, то значения функции отрицательны при х<-в/а и положительны при х > -в/а.

в) Если а <0, то значения функции положительны при х <-в/а и отрицательны при х > -в/а.

Доказательство. б) Если а > 0, то в соответствии со свойством числовых неравенств, неравенство ах + в > 0 равносильно неравенству х > -в/а. Аналогично доказывается и вторая часть утверждения этого пункта.

Свойство монотонности функции

Если а = 0, функция является постоянной. Если а > 0, функция строго возрастает, при а <0 - убывает.

Доказательство. Пусть х₁ >х₂. Тогда у(х₁) – у(х₂) = ах₁ +в – (ах₂ + в) = а(х₁ – х₂), следовательно, у(х₁) = у(х₂), если а = 0, у(х₁) > у(х₂), если а > 0, у(х₁) < у(х₂), если а <0.

 

---

Дата добавления: 2019-09-02; просмотров: 375; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!