Лекция 3. Электрические цепи однофазного синусоидального тока 6 страница

Из таблицы 3.5 следует, что при осуществлении условия

b L = b C

( I L = I C ) в цепи

с параллельным соединением элементов R , L и C не наблюдается сдвига фаз между общим напряжением и током (j =y u -y i = 0 ). Данный режим работы параллельной цепи называется резонансом токов.

а) б) в)

Рисунок 3.16 – Векторные диаграммы для активно-индуктивного (а), активно-ёмкостного (б)

и резонансного (в) режимов работы параллельной цепи

3.11 Мощность в цепи синусоидального тока. Баланс мощностей

Энергетические процессы в цепях переменного тока характеризуются мгновенной мощностью, равной произведению мгновенных значений силы тока и напряжения:

p = iu . (3.89)

Напряжение и ток на входе пассивного двухполюсника в общем случае сдвинуты по фазе на угол . Не нарушая общности, примем начальную фазу силы тока y i = 0 ,

тогда из (3.12) следует, что начальная фаза напряжения y u = j . При таком условии

мгновенные значения напряжения и тока равны:

u = U m sin(w t + j ), i = I m sin w t . (3.90)

Из (3.89) и (3.90) после несложных преобразований находим

p = UI cos j -UI cos(2w t + j ). (3.91)

Из этого выражения видно, что мгновенная мощность в цепи синусоидального тока имеет постоянную составляющую и переменную, изменяющуюся во времени с удвоенной частотой.

3.11.1 Активная мощность

Среднее значение мгновенной мощности за период называется активной мощностью:

P = 1 p(t )dt . (3.92)

Единица измерения активной мощности: [ P ] = 1Вт (ватт). Для цепи синусоидального тока после подстановки в формулу (3.92) выражения для мгновенной мощности (3.91) и интегрирования получим:

P = UI cos j . (3.93)

Учитывая соотношения (3.76), (3.79) (3.84) и (3.87), на основании (3.93) можно доказать, что активная мощность может быть рассчитана также по одной из следующих формул:

P = I а U ,

P = IU а ,

P = I 2R ,

P = U 2 g . (3.94)

Примечание – Физический смысл активной мощности заключается в том, что она характеризует ту энергию, которая передается от источника к приемнику и безвозвратно преобразуется в другие формы энергии (например, в тепловую).

3.11.2 Энергетические процессы в резистивном, индуктивном и ёмкостном элементах. Понятие о реактивной мощности

Основные закономерности процессов преобразования энергии в идеализированных пассивных элементах цепи (резистивном, индуктивном и ёмкостном) представлены в таблице 3.6 и на временных диаграммах, изображенных на рисунках 3.17 –3.19.

Таблица 3.6 – Основные закономерности энергетических процессов в резистивном, индуктивном и ёмкостном элементах

Пассивный двухполюсный элемент и его условное обозначение		Резистивный	Индуктивный		Ёмкостный

Сила	тока	i = I m sin w t
Напряжение		u = U m sin w t	u = U sin⎛w t + p ⎞ m ⎜ 2 ⎟ ⎝ ⎠		u = U sin⎛w t - p ⎞ m ⎜ 2 ⎟ ⎝ ⎠
Мгновенная мощность		p R = UI (1- cos 2w t ),		p L = UI sin 2w t ,		p C = -UI sin 2w t
Характер	0 < t < T 4	i > 0 , i ® I m
		u > 0 , u ® U m	u > 0 , u ® 0		u < 0 , u ® 0
		p R > 0	p L > 0		p C < 0
изменения
		i > 0 , i ® 0
силы тока, напряжения и	T < t < T 4 2
		u > 0 , u ® 0	u < 0 , u ® -U m		u > 0 , u ® U m
		p R > 0	p L < 0		p C > 0
мгновенной
	T < t < 3T 2 4	i < 0 , i ® -I m
мощности за
период T
		u < 0 , u ® -U m	u < 0 , u ® 0		u > 0 , u ® 0
переменного
		p R > 0	p L > 0		p C < 0
тока
		i < 0 , i ® 0
	3T < t < T
		u < 0 , u ® 0	u > 0 , u ® U m		u < 0 , u ® -U m
	4

Продолжение таблицы 3.6

Пассивный двухполюсный элемент и его условное обозначение	Резистивный	Индуктивный	Ёмкостный
Пассивный двухполюсный элемент и его условное обозначение
	p R > 0	p L < 0	p C > 0
Активная мощность	P = UI	P = 0

Мгновенная мощность в резистивном элементе (рисунок 3.17) в каждый момент времени положительная, т.е. в течение любого интервала времени в резистивный элемент поступает энергия и происходит необратимое преобразование ее в другие виды энергии. Активная мощность для резистивного элемента согласно формуле (3.93)

P = UI , так как j = 0 и, следовательно, cos j = 1.

Рисунок 3.17 – Временные диаграммы силы тока, напряжения и мгновенной мощности в резистивном элементе

Мгновенная мощность в индуктивном элементе (рисунок 3.18) изменяется по синусоидальному закону с частотой вдвое большей частоты тока.

Рисунок 3.18 – Временные диаграммы силы тока, напряжения и мгновенной мощности в индуктивном элементе

Мгновенная мощность положительна при нарастании по абсолютному значению тока (1-я и 3-я четверти периода); в это время энергия накапливается в магнитном поле индуктивности. При уменьшении по абсолютному значению силы тока в индуктивном элементе (2-я и 4-я четверти периода) мгновенная мощность отрицательна. Индуктивный элемент не получает энергию от источника, а наоборот, энергия, запасенная в его магнитном поле, возвращается источнику. Таким образом, за период синусоидального тока, индуктивный элемент и источник дважды обмениваются

энергией. Активная мощность для индуктивного элемента согласно формуле (3.93)

равна нулю ( P = 0 ), так как j = p 2 и, следовательно, cos j = 0 . Это означает, что

синусоидальный ток в индуктивном элементе не совершает работы. Поэтому в отличие от резистивного элемента энергетический режим индуктивного элемента принято определять не активной, а реактивной индуктивной мощностью, равной максимальному значению мгновенной мощности:

Q L = I L U L ,

Q = I 2 X ,

U 2

Q L L ,

X L

Q = U 2b . (3.95)

L L L

Мгновенная мощность в ёмкостном элементе (рисунок 3.19), так же как и в индуктивном, — синусоидальная величина, частота которой вдвое больше частоты тока.

Рисунок 3.19 – Временные диаграммы силы тока, напряжения и мгновенной мощности в ёмкостном элементе

Мгновенная мощность положительна в те интервалы времени, в течение которых напряжение возрастает по абсолютному значению (2-я и 4-я четверти периода). В это время происходит зарядка ёмкостного элемента и в его электрическом поле накапливается энергия. При уменьшении по абсолютному значению напряжения на ёмкостном элементе (1-я и 3-я четверти периода) мгновенная мощность отрицательна. Ёмкостный элемент разряжается и энергия, запасенная в его электрическом поле, возвращается источнику. Таким образом, за период синусоидального тока, ёмкостный элемент и источник дважды обмениваются энергией. Активная мощность для

ёмкостного элемента согласно формуле (3.93) равна нулю ( P = 0 ), так как j = -p 2 и,

следовательно,

cos j = 0 . Это означает, что в ёмкостном элементе, так же как и в

индуктивном, синусоидальный ток не совершает работы. Энергетический режим ёмкостного элемента принято определять реактивной ёмкостной мощностью, равной максимальному значению мгновенной мощности:

Q C = I C U C ,

Q = I 2 X ,

U 2

Q C C ,

X C

Q = U 2b . (3.96)

C C C

Энергетический режим электрической цепи, содержащей произвольную совокупность резистивных, индуктивных и ёмкостных элементов, принято характеризовать активной мощностью P , определяемой по формуле (3.93), и реактивной мощностью Q , равной произведению действующих значений напряжения,

силы тока и синуса угла сдвига фаз между ними:

Q = UI sin j . (3.97)

Единица измерения реактивной мощности: [ Q ] = 1ВАр (вольт-ампер реактивный).

Учитывая соотношения (3.76), (3.79) (3.84) и (3.87), на основании (3.97) можно доказать, что реактивная мощность может быть рассчитана также по одной из следующих формул:

Q = I

р U ,

Q = IU р ,

Q = I 2 X ,

Q = U 2b ,

Q = Q L

- Q C

. (3.98)

3.11.3 Полная мощность и треугольник мощностей. Комплексная форма представления мощности

Произведение действующих значений тока и напряжения, т.е. величина

S = IU , (3.99)

называется полной мощностью. Единица измерения полной мощности: [ S ] = 1ВА

(вольт-ампер).

Полная мощность характеризует предельную активную мощность, которую

источник может отдавать потребителю, если последний будет работать при cos j = 1

(j = 0 ), т.е. будет представлять чисто активную нагрузку.

Воспользовавшись законами Ома (3.68), соотношение (3.99) преобразуем к виду

S = I

2Z ,

S = ,

S = U

2Y . (3.100)

Из простого сравнения выражений (3.93), (3.97) для активной и реактивной мощностей с выражением (3.99) для полной мощности следует, что между всеми этими типами мощностей P , Q и S существует связь:

P = S cos j ,

Q = S sin j , S = =

. (3.101)

Соотношения (3.101) можно интерпретировать символически как геометрические соотношения между сторонами треугольника мощностей — прямоугольного треугольника с катетами P , Q и гипотенузой S (рисунок 3.20).

Рисунок 3.20 – Треугольник мощностей

Активную, реактивную и полную мощности можно определить, пользуясь

комплексными изображениями тока и напряжения. Пусть величины

I& = I e j y i и

U& = U e j y u

задают комплексной ток и комплексное напряжение, а величина

I&*

= Ie- j y _i

— комплекс, сопряженный с током I& (комплексно-сопряженный ток).

Комплексное число

S , равное произведению комплексного напряжения на

сопряженный комплекс тока, называется комплексной мощностью:

~ = U&I&* . (3.102)

Из определения (3.102) следует

~ = U&I&* = (U e j y u )(Ie- j y i )= UI e j (y u -y i ) = UI e j j , (3.103)

Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 165; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 4 5 6 7 8910 11 12 13 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!