Лекция 3. Электрические цепи однофазного синусоидального тока 5 страница
|
k =1
=åe k , (3.71)
|
где n — число пассивных элементов контура, m — число действующих в нем ЭДС.
Используя символические представления напряжения u k и ЭДС e k , определяемые
выражениями u k = Im{ 2U& e } и e = Im{ 2E& e }, формулу (3.71) запишем так:
j w t j w t
|
|
n m n m
åU& k k =1
=åE&k ,
k =1
åI&k Z k k =1
=åE&k , (3.72)
k =1
где Z k — комплексное сопротивление k - й ветви контура.
Соотношение (3.72) дает математическое выражение 2-го закона Кирхгофа в комплексной форме.
Второй закон Кирхгофа: в замкнутом контуре электрической цепи алгебраическая сумма комплексных напряжений на пассивных элементах контура равна алгебраической сумме комплексных ЭДС, действующих в контуре.
3.9 Ток и напряжение при последовательном соединении сопротивления, индуктивности и ёмкости. Треугольник напряжений
Для цепи синусоидального тока с последовательным соединением сопротивления R , индуктивности L и ёмкости C уравнение электрического состояния может быть получено на основании 2-го закона Кирхгофа, записанного в комплексной форме:
U& = U& R + U& L + U&C , (3.73)
|
|
|
где
U& R ,
U& L
и U&C
— комплексные напряжения на элементах R , L и C , U& —
комплексное напряжение источника (рисунок 3.13, а).
 |  |
а) б)
Рисунок 3.13 – Схема с последовательным соединением сопротивления, индуктивности и ёмкости (а) и треугольник напряжений (б)
Обозначим U& а = U R , U& р = U& L + U&C
и перепишем уравнение (3.73) в форме
Составляющую
U& = U& а + U& р . (3.74)
U& а , совпадающую по фазе с током I& , называют активной
составляющей напряжения или активным напряжением, а составляющую
U& р ,
сдвинутую относительно тока на угол ± p
или реактивным напряжением.
2 , — реактивной составляющей напряжения
Если комплексный ток и комплексное напряжение заданы в показательной форме равенствами
I& = Ie j y i , U& = U e j y u ,
то напряжения U& R , U& L
и U&C
в формуле (3.73) можно представить следующим образом:
|
= U e j y i ,
U& L =
jX L I& =
jX Ie j y i =
jU e j y i ,
|
|
|
|
|
|
|
|
Активное и реактивное напряжение, т.е. величины U& а и U& р , тогда, равны:
U& а
= U& R
= U а
e j y i ,
U& р
= U& L
+ U&C =
j(U L
- U C
)e j y i =
jU р
e j y i , (3.75)
откуда следуют соотношения для действующих значений активного и реактивного напряжений:
U а = IR ,
U р = U L - U C
= I (X L - X C ) = IX . (3.76)
|
или
Ue j y u
= (U +
jU р
)e j y i
Ue j j
= U а +
jU р , (3.77)
где j =y u -y i
— угол сдвига фаз между напряжением и током. На основании формул
Эйлера (3.16) выражение (3.77) представимо в виде
Ue j j
= U cos j +
jU sin j . (3.78)
Из сравнения правых частей формул (3.77) и (3.78) следует:
⎛ U р ⎞
⎛ U L -U C ⎞
 |
U а = U cos j ,
U р = U sin j ,
j = arctg⎜
U
⎟ = arctg⎜
U
⎟ . (3.79)
⎝ а ⎠ ⎝ а ⎠
Полное напряжение U , равное модулю комплексного напряжения (3.77),
определяется выражением
U = =
. (3.80)
|
|
|
Формулам (3.79), (3.80) можно сопоставить прямоугольный треугольник с
катетами
U а , U р
и гипотенузой U (рисунок 3.13, б). Этот треугольник называется
треугольником напряжений.
Построим для уравнения (3.73) векторную диаграмму. В зависимости от
соотношения между величинами
U& L
и U&C
возможны три варианта векторной
диаграммы и, следовательно, три режима работы данной электрической цепи. Основные сведения об этих режимах приведены в таблице 3.4, а соответствующие им векторные диаграммы — на рисунке 3.14.
Таблица 3.4 – Режимы работы цепи с последовательным соединением сопротивления, индуктивности и ёмкости
| Режим работы электрической цепи | Активно- индуктивный | Активно- ёмкостный | Активный (резонансный) |
| Соотношение между U L и U C | U L > U C | U L < U C | U L = U C |
| Соотношение между X L и X C | X L > X C | X L < X C | X L = X C |
| Сила тока и напряжение | i = I m sin(w t +y i ), u = U m sin(w t +y u ) | ||
| Соотношение между начальными фазами, сдвиг фаз | y i <y u , j =y u -y i > 0 | y i >y u , j =y u -y i < 0 | y i =y u , j =y u -y i = 0 |
Из таблицы 3.4 следует, что при осуществлении условия
X L = X C
(U L = U C ) в
цепи с последовательным соединением элементов R , L и C не наблюдается сдвига фаз между общим напряжением и током (j =y u -y i = 0 ), так что влияния индуктивности и ёмкости оказываются взаимно скомпенсированы и цепь в отношении
|
|
|
протекающего через нее тока ведет себя как чисто активная нагрузка. Данный режим работы последовательной цепи называется резонансом напряжений.
 |
а) б) в)
Рисунок 3.14 – Векторные диаграммы для активно-индуктивного (а), активно-ёмкостного (б)
и резонансного (в) режимов работы последовательной цепи
3.10 Ток и напряжение при параллельном соединении сопротивления, индуктивности и ёмкости. Треугольник токов
Для цепи синусоидального ток с параллельным соединением сопротивления R , индуктивности L и ёмкости C уравнение электрического состояния может быть получено на основании 1-го закона Кирхгофа, записанного в комплексной форме:
I& = I&R + I&L + I&C , (3.81)
где
I&R ,
I&L
и I&C
— комплексы токов в элементах R , L и C , I& — комплексный ток в
неразветвленной части цепи (рисунок 3.15, а).
 |  |
а) б)
Рисунок 3.15 – Схема с параллельным соединением сопротивления, индуктивности и ёмкости (а) и треугольник токов (б)
Обозначим
I&а = I&R ,
I&р = I&L + I&C
и перепишем уравнение (3.81) в форме
I& = I&а + I&р . (3.82)
Составляющую
I&а , совпадающую по фазе с напряжением U& , называют активной
составляющей тока или активным током, а составляющую
I&р , сдвинутую
относительно напряжения на угол
реактивным током.
± p 2 , — реактивной составляющей тока или
Если комплексный ток и комплексное напряжение заданы в показательной форме равенствами
I& = Ie j y i , U& = U e j y u ,
то токи
I&R ,
I&L
и I&C
в формуле (3.81) можно представить следующим образом:
I& = gU& = gUe j y u = I
e j y u ,
I& = - jb U& = - jb U e j y u
= - jI
e j y u ,
R
I&C
R
= jb C U& =
L L
|
jI C
L L
e j y u .
Активный и реактивный ток, т.е. величины
I&а и
I&р , тогда, равны:
I&а
= I&R
= I а
e j y u ,
I&р
= I&L
+ I&C
= - j(I L
- I C
)e j y u
= - jI
e j y u , (3.83)
|
I а = U g , I р = I L - I C = U (b L - b C ) = U b . (3.84)
|
или
Ie j y i
= (I -
jI р
)e j y u
Ie- j j
= I а -
jI р , (3.85)
где j =y u -y i
— угол сдвига фаз между напряжением и током. На основании формул
Эйлера (3.16) выражение (3.85) представимо в виде
Ie- j j
= I cos j -
jI sin j . (3.86)
Из сравнения правых частей формул (3.85) и (3.86) следует:
⎛ I р ⎞ ⎛ I L - I C ⎞
 |  |
I а = I cos j ,
I р = I sin j ,
j = arctg⎜
I
⎟ = arctg⎜
I
⎟ . (3.87)
⎝ а ⎠ ⎝ а ⎠
Полный ток I , равный модулю комплексного тока (3.85), определяется выражением:
I = =
. (3.88)
Формулам (3.87), (3.88) можно сопоставить прямоугольный треугольник с
катетами
I а ,
I р и гипотенузой I (рисунок 3.15, б). Этот треугольник называется
треугольником токов.
Построим для уравнения (3.81) векторную диаграмму. Как и в случае последовательной цепи, здесь возможны три варианта векторных диаграмм и, следовательно, три режима работы электрической цепи. Основные сведения об этих режимах представлены в таблице 3.5, а соответствующие им векторные диаграммы — на рисунке 3.16.
Таблица 3.5 – Режимы работы цепи с параллельным соединением сопротивления, индуктивности и ёмкости
| Режим работы электрической цепи | Активно- индуктивный | Активно- ёмкостный | Активный (резонансный) |
| Соотношение между I L и I C | I L > I C | I L < I C | I L = I C |
| Соотношение между b L и b C | b L > b C | b L < b C | b L = b C |
Продолжение таблицы 3.5
| Режим работы электрической цепи | Активно- индуктивный | Активно- ёмкостный | Активный (резонансный) |
| Сила тока и напряжение | i = I m sin(w t +y i ), u = U m sin(w t +y u ) | ||
| Соотношение между начальными фазами, сдвиг фаз | y i <y u , j =y u -y i > 0 | y i >y u , j =y u -y i < 0 | y i =y u , j =y u -y i = 0 |
Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 158; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!