Лекция 3. Электрические цепи однофазного синусоидального тока 4 страница
j&b = j&a -
jX L 2I&2 , j&c = j&b - R I&2 , j&d = j&c +
jX L1I&1 = j&a + E&1 ,
 |  |
j&e = j&c - (- jX C I&3 )= j&a + E&2 .
а) б)
Рисунок 3.10 – Схема разветвленной электрической цепи (а) и соответствующая ей топографическая диаграмма (б)
Пример топографической диаграммы, совмещенной с векторной диаграммой
токов и напряжений, показан на рисунке 3.10, б.
3.7 Закон Ома в комплексной форме. Треугольник сопротивлений и треугольник проводимостей
Если к цепи, состоящей из последовательно соединенных элементов R , L и
C (рисунок 3.11), приложено синусоидальное напряжение
u = U m sin(w t +y u ),
то согласно результатам, представленным в разделе 3.5, ток в ней также будет синусоидальным:
i = I m sin(w t +y i ).
 |
Рисунок 3.11 – Одноконтурная электрическая цепь с последовательным соединением сопротивления, индуктивности и ёмкости
На основании 2-го закона Кирхгофа для мгновенных значений тока и напряжений в рассматриваемой цепи можно составить следующее уравнение:
u R + u L +u C = u
или
t
Ri + L di + u C (0)+ 1 òidt = u , (3.54)
dt C
0
где u C (0) — начальное напряжение на конденсаторе.
Поскольку напряжение на активном сопротивлении совпадает по фазе с стоком,
|
|
|
|
|
|
|
|
RI sin(w t +y )+ w LI sin⎛w t +y
+ p ⎞ + 1 I sin⎛w t +y - p ⎞ +
m i m ⎜
⎝
i ⎟ w C m ⎜ i ⎟
+ 
1 I
w C m
+ u C
(0) = U m
sin(w t +y u
). (3.55)
В уравнении (3.55) все слагаемые, кроме двух последних в его левой части, не содержат постоянных составляющих, следовательно,
1
I
w C m
+ u C
(0) = 0 .
Уравнение (3.55) должно быть справедливо для любого момента времени t .
Рассмотрим далее момент времени t , для которого w t = 0 . Выражение (3.55) тогда преобразуется в равенство
RI sin y + w LI sin⎛y
+ p ⎞ + 1 I sin⎛y - p ⎞ = U sin y
. (3.56)
|
|
|
|
|
⎝
⎟ w C m ⎜ i ⎟ m u
Используя комплексное представление синусоидальных величин (3.21),
уравнение (3.56) представим относительно комплексных амплитуд тока и напряжения:
|
|
|
⎩
+ 1 e
w C
- j p ⎫
2 ⎬ = U
⎭
e j y u ,
|
|
|
|
I&{R + j(X L - X C )}= U& . (3.57)
Из (3.57) окончательно получаем:
I& = U& ,
Z
I& = U& Y . (3.58)
Соотношения (3.58) являются законами Ома в комплексной форме, а величины Z и Y в них определяют соответственно комплексное сопротивление и комплексную проводимость ветви или цепи. Учитывая определение (3.23) для комплексного сопротивления Z согласно (3.57) можем записать:
Z = U&
I&
= Ze j j
= R +
j(X L
-X C
) = R +
jX . (3.59)
Действительная часть R комплексного сопротивления называется активной составляющей сопротивления (активным сопротивлением), коэффициент X в мнимой части — реактивной составляющей сопротивления (реактивным сопротивлением):
X = X L - X C . (3.60)
Полное сопротивление Z , равное модулю комплексного сопротивления (3.59),
определяется выражением
Z = =
. (3.61)
Для величин R , X и Z справедливы следующие соотношения:
R = Z cos j ,
X = Z sin j ,
j = arctg⎛ X ⎞ = arctg⎛ X L - X C ⎞ , (3.62)
|
|
|
 |  |
⎜ R ⎟ ⎜ R ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
где — угол сдвига фаз между напряжением и током.
Формулы (3.61) и (3.62) в теоретической электротехнике интерпретируют символически, как геометрические соотношения между сторонами треугольника сопротивлений — прямоугольного треугольника с катетами R , X и гипотенузой Z (рисунок 3.12, а).
В рамках указанной интерпретации формула (3.61), очевидно, есть теорема Пифагора для треугольника сопротивлений, а формулы (3.62) — соотношения между его катетами и гипотенузой.
Учитывая (3.25) и (3.59), можно получить выражение для комплексной проводимости ветви:
Y = 1 = 1
= R - jX
= R - j X
= R -
j⎛ X L - X C ⎞ ,
 |  |
Z
откуда, полагая
R + jX
R2 + X 2 Z 2
Z 2 Z 2
⎜ Z 2
⎟
|
перейдем к равенству
g = R ,
Z 2
b L =
X L ,
Z 2
b C =
X C , (3.63)
Z 2
 |
Y = 1
Z
= Ye- j j
= g -
j(b L
- b C
) = g -
jb . (3.64)
Действительная часть g комплексной проводимости называется активной составляющей проводимости (активной проводимостью), коэффициент b в мнимой части — реактивной составляющей проводимости (реактивной проводимостью):
|
|
|
b = b L - b C . (3.65)
Полная проводимость Y , равная модулю комплексной проводимости (3.64),
определяется выражением
Y = =
. (3.66)
Для величин g , b и Y справедливы следующие соотношения:
⎛ b ⎞
⎛ b L - b C ⎞
 |
g = Y cos j ,
b = Y sin j ,
j = arctg⎜ ⎟ = arctg⎜
g
⎟ . (3.67)
g
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Формулам (3.66), (3.67) можно сопоставить прямоугольный треугольник с катетами g , b и гипотенузой Y (рисунок 3.12, б). Этот треугольник называется
треугольником проводимостей.
 |  |
а) б)
Рисунок 3.12 – Треугольник сопротивлений (а) и треугольник проводимостей (б)
Примечания
1 Индуктивное и ёмкостное сопротивления
X L и
X C являются арифметическими
величинами, зависящими только от параметров элементов и угловой частоты, реактивное же сопротивление X — величина алгебраическая и его знак зависит от
соотношения между
X L и
X C . Аналогичным свойством обладают также индуктивная и
ёмкостная проводимости b L
и b C
в отношении реактивной проводимости b .
2 Соотношения (3.63) устанавливают связь между активными, индуктивными и
ёмкостными сопротивлениями, т.е. величинами R ,
X L и
X C , и соответствующими им
проводимостями g , b L и b C . Как следует из этих формул, в цепи синусоидального тока
активную, индуктивную и ёмкостную проводимости в общем случае нельзя рассматривать как величины обратные соответствующим сопротивлениям. В частном случае ветви, содержащей только однотипные пассивные элементы, как следует
из (3.32), (3.41) и (3.50), величины g , b L
и b C
могут быть определены как обратные к
величинам R ,
X L и
X C соответственно.
3 
Из формул (3.58), (3.61) и (3.66) следует, что действующее значение тока в цепи можно рассчитать как
I = U = U Z
, I = UY = U
. (3.68)
Соотношения (3.68) называются законами Ома для действующих значений силы тока и напряжения.
3.8 Комплексная форма законов Кирхгофа
Электрическое состояние цепей синусоидального тока, так же как и цепей постоянного тока, определяют законы Кирхгофа.
3.8.1 Первый закон Кирхгофа в комплексной форме
По 1-му закону Кирхгофа алгебраическая сумма токов в любом узле электрической цепи в каждый момент времени равна нулю:
p
åi k
k =1
= 0 , (3.69)
где p — число ветвей, сходящихся в узле. Используя символическое представление
каждого из токов i k , определяемое выражением i = Im{ 2I& e }, формулу (3.69)
 | |
j w t
запишем так:
åI&k
k =1
= 0 . (3.70)
Соотношение (3.70) дает математическое выражение 1-го закона Кирхгофа в комплексной форме.
Первый закон Кирхгофа: алгебраическая сумма комплексных токов в любом узле цепи синусоидального тока равна нулю.
3.8.2 Второй закон Кирхгофа в комплексной форме
По 2-му закону Кирхгофа в замкнутом контуре электрической цепи алгебраическая сумма напряжений на пассивных элементах контура в каждый момент времени равна алгебраической сумме ЭДС, действующих в контуре:
Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 162; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!