Лекция 3. Электрические цепи однофазного синусоидального тока 1 страница

3.1 Синусоидальный электрический ток и его основные характеристики

Электрический ток, изменяющийся с течением времени, называется переменным. Значение переменной электрической величины в любой момент времени t называется ее мгновенным значением и обозначается строчной буквой, например, i , u и e обозначают мгновенные значения силы тока, напряжения и ЭДС. Наибольшее из мгновенных значений переменной величины называется также максимальным или амплитудным значением и обозначается прописной буквой с индексом « m », например,

I m , U m

и E m

— это амплитудные значения силы тока, напряжения и ЭДС.

Переменный электрический ток, мгновенные значения которого и направление через равные промежутки времени периодически повторяются, называется периодическим током. Периодический ток характеризуют следующие параметры:

1) Период T — интервал времени, через который повторяются мгновенные значения переменной величины; единица измерения периода: [T ] = 1с (секунда).

2) Частота f — величина, равная числу колебаний в единицу времени; единица измерения частоты: [ f ] = 1Гц (герц).

3) Угловая частота — величина, равная числу колебаний за 2p

единиц

времени; единица измерения угловой частоты: [ ] = 1рад с (радиан в секунду).

Параметры T , f и связаны соотношениями

f = 1 ,

w = 2p f ,

w = 2p . (3.1)

Периодический электрический ток, изменяющийся во времени по синусоидальному закону, называется однофазным синусоидальным током или просто синусоидальным током. Синусоидально изменяющиеся токи, напряжения и ЭДС определяются функциями

i(t ) = I m sin(w t +y i ), u(t ) = U m sin(w t +y u ), e(t ) = E m sin(w t +y e ), (3.2)

где каждая из величин w t +y i , w t +y u или w t +y e , т.е. аргумент синуса, называется

полной фазой или просто фазой, а каждая из величин y i , y u или y e — начальной

фазой соответственно силы тока, напряжения и ЭДС. Фаза характеризует состояние колебания (мгновенное значение) в любой момент времени t , начальная фаза — в момент времени t = 0 .

Рисунок 3.1 – Временные диаграммы синусоидальных токов, напряжений и ЭДС

На рисунке 3.1 показаны временные диаграммы (графики) синусоидальных токов напряжений и ЭДС, имеющие одинаковый период T , но различные начальные фазы y i ,

y u и y e .

3.2 Среднее и действующее значение синусоидальной величины. Связь с амплитудным значением

Средним значением синусоидальной величины (средневыпрямленным значением) называют ее среднее значение за половину периода. Так, например, среднее значение силы тока:

I = 2

ср T

T 2

òi(t )dt . (3.3)

Так же определяются средние значения напряжения и ЭДС:

U = 2

ср T

T 2

òu(t )dt ,

E = 2

ср T

T 2

òe(t )dt . (3.4)

Для синусоидального тока доказать:

i(t ) = I m sin w t

на основании формулы (3.3) можно

I ср

= 2I m . (3.5)

Аналогичным образом, исходя из формул (3.4), можно доказать, что средние значения синусоидальных напряжений и ЭДС равны:

U ср

= 2U m ,

E ср

= 2E m . (3.6)

Действующим значением периодического переменного тока (эффективным значением) называют среднеквадратичное его значение за период:

I = . (3.7)

Так же определяются действующие значения напряжения и ЭДС:

U = , E =

. (3.8)

Для синусоидального тока на основании формулы (3.7) получаем:

I = I m . (3.9)

Аналогичным образом, исходя из формул (3.8), можно доказать, что действующие значения синусоидальных напряжений и ЭДС равны:

U = U m ,

E = E m

. (3.10)

Примечание – Если обе части равенства (3.7) возвести в квадрат и умножить их на величину RT , где R — некоторое активное сопротивление (подробнее см. раздел 3.5.1), можно получить:

RI 2T =òRi2 (t )dt .

Это равенство показывает, что действующее значение переменного тока численно равно значению такого постоянного тока I , который в активном сопротивлении R за период T выделяет такое же количество тепловой энергии, что и данный переменный ток i .

3.3 Формы представления синусоидальных величин

Известно несколько способов представления синусоидально изменяющихся величин: в виде тригонометрических функций, в виде графиков изменения во времени, в виде вращающихся векторов и в виде комплексных чисел

3.3.1 Графическое представление синусоидальных величин. Понятие о временных диаграммах

Синусоидальный ток, напряжение и ЭДС можно представить в виде графиков

тригонометрических функций i(t ) = I m sin(w t +y i ), u(t ) = U m sin(w t +y u ) и

e(t ) = E m sin(w t +y e ) в прямоугольной системе координат. Эти графики называются

также временными или волновыми диаграммами.

На рисунке 3.2 построены временные диаграммы силы тока и напряжения

одинаковой частоты , но с разными амплитудами I m , U m и начальными фазами y i ,

y u . По оси абсцисс на рисунке 3.2 отложено время t .

а) б)

Рисунок 3.2 – Временные диаграммы токов и напряжений, имеющих друг относительно друга положительный (а) и отрицательный (б) сдвиг фаз

Примечания

1 Начальная фаза на временной диаграмме определяется ближайшей

относительно начала координат точкой перехода графика синусоидальной функции

через нуль от ее отрицательных значений к положительным. При y > 0 начальная фаза

синусоиды сдвинута влево (кривая u(t ) на рисунке 3.2, а), при y < 0 — вправо от

начала координат (кривая i(t ) на рисунке 3.2, а).

2 Синусоидальные величины, изменяющиеся с одинаковой частотой, но имеющие различные начальные фазы y ¢ и y ¢ характеризуются углом сдвига фаз (фазовым

сдвигом), величина которого определяется разностью полных или начальных фаз:

j = (w t +y ¢)- (w t +y ¢ ) =y ¢ -y ¢ . (3.11)

В частности, сдвиг фаз между напряжением и током определяется всегда как разность

начальных фаз напряжения y u и тока y i (а не наоборот):

j =y u -y i . (3.12)

3 Угол согласно формулам (3.11), (3.12) является величиной алгебраической. В таблице 3.1 представлены основные соотношения между начальными фазами силы тока и напряжения.

Таблица 3.1 – Соотношения между начальными фазами силы тока и напряжения

Соотношение между начальной фазой напряжения y u и начальной фазой силы тока y i	Величина сдвига фаз j =y u -y i	Комментарий
y u >y i	j > 0	напряжение опережает ток по фазе (ток отстает от напряжения по фазе)
y u <y i	j < 0	напряжение отстает по фазе от тока (ток опережает по фазе напряжение)
y u =y i	j = 0	ток и напряжение совпадают по фазе (изменяются синфазно)
y u =y i ± p	j = ±p	ток и напряжение находятся в противофазе

На рисунке 3.2, а показан положительный сдвиг фаз между напряжением и током (j > 0 ), на рисунке 3.2, б — отрицательный сдвиг фаз (j < 0 ). Ситуацию, когда

ток и напряжение не имеют сдвига фаз (j = 0 ) демонстрирует рисунок 3.3, а; случай, когда ток и напряжение находятся в противофазе (j = ±p ) — рисунок 3.3, б.

а) б)

Рисунок 3.3 – Временные диаграммы токов и напряжений, не имеющих сдвига фаз (а)

и находящихся в противофазе (б)

3.3.2 Векторное представление синусоидальных величин. Понятие о векторных диаграммах

Если некоторая величина

a(t ) изменяется по синусоидальному закону

a(t ) = A m sin(w t +y a ), (3.13)

ее амплитуда

A m остается постоянной. Следовательно, синусоидальные ЭДС,

напряжения и токи, имеющие угловую частоту , можно изобразить векторами,

равными по длине их амплитудам угловой скоростью .

E m , U m

или

I m , и равномерно вращающимися с

На рисунке 3.4 показаны вращающийся вектор тока I m

изменения тока i во времени (рисунок 3.4, б)

(рисунок 3.4, а) и график

а) б)

Рисунок 3.4 – Пример изображения вращающимся вектором (а)

синусоидально изменяющегося тока (б)

Примечания

1 Из рисунка 3.4 следует, что любой вектор

A m , изображающий синусоидальную

величину (3.13), при вращении против направления движения часовой стрелки

составляет с горизонтальной осью OX угол w t +y a

в произвольный момент времени t ,

угол y a в начальный момент времени t = 0 .

2 Проекция вращающегося вектора

A m на вертикальную ось OY в любой момент

времени t равна мгновенному значению синусоидальной величины, т.е. числу

A m sin(w t +y a ).

3 Любую синусоидально изменяющуюся величину a(t ) можно также представить

вектором действующего значения A , длина которого

A = A m .

Совокупность векторов на плоскости, изображающих синусоидальные ЭДС, напряжения и токи одной частоты, называют векторной диаграммой. Очевидно, что взаимное расположение этих векторов с течением времени не меняется, так как угловые скорости их одинаковы. Это означает, что векторная диаграмма может быть построена для произвольного момента времени t , однако обычно такое построение проводят для начального момента времени t = 0 .

Правила построения векторных диаграмм

1) При изображении синусоидальных ЭДС, напряжений и токов из начала координат проводят радиус-векторы, представляющие в заданном масштабе указанные величины. Масштаб для различных величин также может быть различным.

2) Выбирают произвольный вектор в качестве основного (обычно ось OX ), а все остальные векторы строят по отношению к нему с учетом сдвига фаз.

3) Для изображения сдвига фаз положительные углы откладывают против направления движения часовой стрелки (опережение по фазе), отрицательные углы — по направлению движения часовой стрелки (отставание по фазе).

4) Векторные диаграммы строят только для амплитудных и действующих значений величин.

а) б)

Рисунок 3.5 – Векторные диаграммы силы тока и напряжения при положительном (а)

и отрицательном (б) сдвиге фаз

На рисунке 3.5 показаны векторные диаграммы силы тока и напряжения при положительном (рисунок 3.5, а) и отрицательном (рисунок 3.5, б) сдвиге фаз между ними.

3.3.3 Комплексное представление синусоидальных величин. Понятие о комплексной амплитуде и комплексе действующего значения величины

Любое комплексное число A& можно изобразить на комплексной плоскости точкой с радиус-вектором A& (рисунок 3.6, а) и представить в показательной,

тригонометрической и алгебраической формах:

A& = A m

e j a

= A m

(cos a +

j sin a ) = a + bj , (3.14)

где

A m и — модуль и аргумент комплексного числа, a и b — его действительная

(вещественная) и мнимая части.

а) б)

Рисунок 3.6 – Изображение комплексного числа (а) и комплекса синусоидальной величины (б) радиус-вектором на комплексной плоскости

Ось абсцисс

+ 1 на комплексной плоскости называется действительной

(вещественной) осью, ось ординат + j

— мнимой осью, число j =

— мнимой

единицей. Модуль

A m определяет длину радиус-вектора, изображающего комплексное

число A& , аргумент — угол его наклона к действительной оси + 1, вещественная и

мнимая части a и b — проекции на координатные оси + 1 и + j (рисунок 3.6, а).

Величины

A m , , a и b связаны соотношениями:

A m = ,

a = arctg(b

a),

a = A m

cos a ,

b = A m

sin a . (3.15)

При выполнении некоторых алгебраических операций над комплексными числами оказываются полезными также формулы Эйлера:

e+ j a

= cos a +

j sin a ,

e- j a

= cos a -

Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 282; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 1 2 345 6 7 8 9 10 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!