Лекция 3. Электрические цепи однофазного синусоидального тока 9 страница

j

j(t ) = J m sin(w t +y и источник ЭДС e(t ) = E sin(w t +y ). Схема, изображенная на

m                      e

рисунке 3.26, а, содержит 3 узла и 5 ветвей, т.е.

m = 3 ,

p = 5 и

k = 1

(имеется 1

источник тока). Количество уравнений на основании 1-го закона составит

n1 = 2 ,

количество уравнений на основании 2-го закона —

для узлов « a » и « b » получаем уравнения

n2 = 2 . По 1-му закону Кирхгофа

J& + I&1 - I&2 = 0 ,    I&2 + I&3 - I&4 = 0 ,

по 2-му закону Кирхгофа для контуров, образованных элементами E , L , C (1-й контур) и C , R (2-й контур), уравнения

R1I&1 +

jX L I&2 +

jX C I&3 = E& ,

- jX C I&3 + R2I&4 = 0 .

Эти уравнения составлены для схемы замещения, изображенной на рисунке 3.26, б, и в совокупности образуют систему  линейных                        алгебраических     уравнений, решением

которой являются комплексные токи уравнениях определены как

I&1 ,

I&2 ,

I&3  и

I&4 .  Комплексы  J&  и  E& в  этих

E& =

E  m e j y e ,

J& =

J m e j y _j .

Примечание – Поскольку законы Кирхгофа в комплексной форме аналогичны законам Кирхгофа относительно постоянных токов, то при расчете цепей синусоидального тока комплексным методом можно использовать методы анализа линейных электрических цепей постоянного тока (метод контурных токов, метод узловых потенциалов и др.), преобразовав предварительно соответствующие формулы к комплексной форме записи.

Достаточно просто это можно сделать по правилам формальной аналогии, заменив во всех расчетных формулах, представленных в разделах 2.6 и 2.7, постоянный ток  I  — комплексом  I& , напряжение U  — комплексом U& , ЭДС  E  — комплексом  E& , сопротивление R — комплексным сопротивлением Z , проводимость g —

комплексной проводимостью Y и т.д. Так, например, система уравнений (2.34) метода контурных токов в комплексной форме будет выглядеть следующим образом:

⎧ Z 11I&11 + Z 12I&22 +K+ Z 1n I&nn = E&11;

Z

⎪

⎪ 21

I&11

+ Z 22

I&22

+K+ Z

2n I&nn

= E&22;

⎪

⎨ ...............................................

 

где

 

Z kk

⎪⎩Z n1I&11 + Z n2I&22 +K+ Z nn I&nn = E&nn ,

 

( k = 1,n ) — полное (комплексное) сопротивление k - го контура,

Z km

 

( k ,m = 1,n

и k ¹ m ) — комплексное сопротивление связи контуров с номерами k

и m ,

E&kk

 

( k = 1,n ) — комплексная контурная ЭДС k - го контура. Величины

I&11,

I&22 , … ,

I&nn

в приведенной системе уравнений обозначают искомые (комплексные)

контурные токи.

 

3.14 Индуктивно связанные электрические цепи при синусоидальном токе

Электрические цепи называются связанными, если процессы в них влияют друг на друга посредством общего электрического или магнитного поля. Если связь электрических цепей осуществляется через магнитное поле, ее называют индуктивной, а сами цепи — индуктивно связанными.

 

3.14.1 Индуктивно связанные электрические цепи. Основные понятия

У двух индуктивных катушек с токами i1  и  i2 , достаточно  близко

расположенными относительно друг друга, часть магнитных линий одной катушки может быть сцеплена с витками другой катушки и наоборот (рисунок 3.27).

Рисунок 3.27 – Магнитные потоки в индуктивно связанных катушках

В таком случае полный магнитный поток каждой катушки  состоит из

собственного потока (потока рассеяния) и потока взаимной индукции:

F1 = F11 +F12 , F2 = F22 +F21,                      (3.122)

где

F1 , F2

— полные магнитные потоки катушек,

F11 ,

F22

— потоки рассеяния

(самоиндукции),

F12 ,

F21

— потоки взаимоиндукции. При этом

F12

обозначает

магнитный поток в первой катушке, обусловленный током i2

во второй катушке; F21 —

наоборот, магнитный поток во второй катушке, обусловленный током i1 в первой катушке (рисунок 3.27).

При числах витков в катушках w1 и w2 потокосцепление самоиндукции

Y11

первой катушки и потокосцепление взаимной индукции Y12 по определению равны:

Y11 = w1F11 , Y12 = w1F12 .                       (3.123)

Аналогично для второй катушки потокосцепления Y22 и Y21 равны:

 

Коэффициенты

Y22 = w2F22 ,

Y21 = w2F21 .                                       (3.124)

1

2

L =Y11 = w1F11 ,  L = Y22 = w2F22

(3.125)

i1                 i1                                         i2          i2

определяют индуктивности первой и второй катушек, а величины

M =Y12 = w1F12 ,  M = Y21 = w2F21

                                                                                                 

(3.126)

i

i

i

i

12                                               21

2           2                               1           1

— соответствующие взаимные индуктивности. Коэффициент

M12

называется взаимной

индуктивностью первой и второй катушек;

M 21

— взаимной индуктивностью второй

и первой катушек. Для линейных электрических цепей взаимная индуктивность

M12 = M 21 = M

и зависит от геометрических размеров, числа витков и взаимного

расположения катушек.

 

3.14.2 Согласное и встречное включение катушек индуктивности. Степень и коэффициент связи

В индуктивно связанных катушках различают согласное и встречное их включение, где под словом «включение» понимают не электрическое соединение катушек, а механизм взаимодействия их магнитных потоков.

Согласным называют такое включение катушек, при котором их магнитные потоки, т.е. потоки рассеяния и взаимоиндукции, имеют одинаковое направление.

Встречным называют такое включение катушек, при котором их магнитные потоки рассеяния и взаимоиндукции имеют встречное направление.

Полные потокосцепления Y1 и Y2 каждой из двух индуктивно связанных

катушек, следовательно, содержат по две составляющие Y11, Y12 или Y22 , Y21, которые

могут складываться или вычитаться в зависимости от их способа включения. Полное потокосцепление первой катушки

Y1 =Y11 ±Y12 = w1F11 ± w1F12 = L1i1 ± Mi2

и полное потокосцепление второй катушки

(3.127)

Y2 =Y22 ±Y21 = w2F 22 ± w2F 21 = L2i2 ± Mi1 ,                                                                                                                                      (3.128) где знак «+» соответствует согласному включению, а знак «–» — встречному включению.

На схемах замещения цепей для определения характера включения индуктивно связанных катушек их одноименные зажимы помечают одинаковым символом, например, « Ÿ », « u », « * » и др. В таком случае катушки считают включенными

согласно, если их токи относительно одноименных зажимов направлены одинаково (рисунок 3.28, а); если же токи относительно одноименных зажимов направлены по- разному, катушки считают включенными встречно (рисунок 3.28, б).

а)                                                                            б)

Рисунок 3.28 – Обозначение согласного (а) и встречного (б) включения индуктивно связанных катушек на схемах замещения

Два зажима, принадлежащих двум разным индуктивно связанным катушкам, называют одноименными и обозначают одинаковыми символами, руководствуясь следующим правилом: при одинаковом направлении токов относительно одноименных зажимов магнитные потоки самоиндукции и взаимной индукции в каждой катушке должны суммироваться.

Примеры определения одноименных зажимов у двух соосных катушек приведены на рисунках 3.29 и 3.30 . На рисунке 3.29 символом « Ÿ » показана маркировка одноименных зажимов для катушек с одинаковым направлением намотки, на рисунке 3.30 — с разным направлением намотки.

а)                                  б)                                  а)                                  б)

Рисунок 3.29 – Индуктивно связанные

катушки с одинаковым направлением намотки при согласном (а)

и встречном (б)

включении

Рисунок 3.30 – Индуктивно связанные

катушки с разным направлением намотки при встречном (а)

и согласном (б)

включении

При изменении токов в катушках изменяются и магнитные потоки. При этом по закону электромагнитной индукции в каждой катушке будет индуцироваться ЭДС. В первой катушке ЭДС

e  = - d Y1 = - d (Y11 ±Y12 ) = e ± e

                        

(3.129)

1        dt

и во второй катушке ЭДС

dt       11  12

e = - d Y2

= - d (Y22 ±Y21 ) = e

± e  ,                             (3.130)

 

где

 

 

e11

2

 

 

= - d Y11

dt

dt

= -L1

 

di1 ,

dt

dt

e22

22

 

 

= - d Y22

dt

21

 

= -L2

 

 

di2 dt

 

(3.131)

— ЭДС самоиндукции соответственно первой и второй катушек,

e = - d Y12

= -M

di2 ,

e = - d Y21 = -M di1

                                           

 

(3.132)

12          dt

dt    21         dt        dt

— ЭДС взаимоиндукции катушек.

Отношение ЭДС взаимной индукции к ЭДС самоиндукции, созданных одним током, называют степенью связи:

k12

= e12  =              = M

e22                                    L2

(3.133)

— степень связи первой катушки со второй;

k21

= e21 =             = M

e11                                    L1

(3.134)

— степень связи второй катушки с первой.

Степень индуктивной связи показывает, какая часть магнитного потока одной катушки проходит через витки другой катушки (при отсутствии тока в ней).

Отношение взаимной индуктивности M катушек к среднему геометрическому их

индуктивностей

L1 и L2

называют коэффициентом связи катушек:

K = M

.                                                      (3.135)

 

Коэффициент связи всегда меньше единицы и может равняться единице лишь в теоретическом случае полного совпадения катушек, когда весь поток одной сцеплен с витками другой.

Примечание – Из сравнения выражений (3.133) – (1.135) следует, что коэффициент связи K можно также определить как среднее геометрическое степеней

связи

k12

и k21 :

 

K =       .                                                     (3.136)

 

3.14.3 Последовательное соединение индуктивно связанных катушек

Последовательное соединение двух индуктивно связанных катушек показано на рисунке 3.31.

---

Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 148; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!